ВПР. Математика. 10 класс. Вариант 1. Часть 2 Дана функция f (x) = |1 - 9/(x+3)|. 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях с уравнение f(x) = с имеет ровно одно решение? Решение.

Решение:

1. Построение графика функции y = |1 - 9/(x+3)|:

   Сначала построим график функции y = 1 - 9/(x+3).

   Это гипербола y = -9/x, смещенная на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх.

   Вертикальная асимптота: x = -3.

   Горизонтальная асимптота: y = 1.

   Найдем точки пересечения с осями:

   • С осью Ox: 1 - 9/(x+3) = 0 => 1 = 9/(x+3) => x+3 = 9 => x = 6. Точка (6, 0).
   • С осью Oy: y = 1 - 9/(0+3) = 1 - 9/3 = 1 - 3 = -2. Точка (0, -2).

   Теперь построим график функции y = |1 - 9/(x+3)|. Для этого часть графика, лежащую ниже оси Ox, нужно отразить вверх.

   После отражения:

   • Точка (0, -2) станет (0, 2).
   • Горизонтальная асимптота y = 1 останется y = 1.
   • Часть графика, которая была ниже y = 1, теперь будет выше y = 1.
   • Ключевые точки: x = -3 (вертикальная асимптота), (6, 0) (точка пересечения с Ox), (0, 2) (точка пересечения с Oy после отражения).


2. Анализ для определения количества решений уравнения f(x) = c:

Чтобы уравнение f(x) = c имело ровно одно решение, прямая y = c должна пересекать график функции y = f(x) ровно в одной точке.

Рассмотрим график y = |1 - 9/(x+3)|:

• Если c < 0: Прямая y = c не пересекает график, так как f(x) всегда неотрицательна (из-за модуля). Нет решений.


• Если c = 0: Прямая y = 0 (ось Ox) пересекает график в одной точке x = 6. Одно решение.


• Если 0 < c < 1: Прямая y = c пересекает график в двух точках (по одной в каждой ветви гиперболы). Два решения.


• Если c = 1: Прямая y = 1 (горизонтальная асимптота) не пересекает график в этой области, но пересекает его в точке, соответствующей отраженной части графика. При c=1, |1 - 9/(x+3)| = 1 => 1 - 9/(x+3) = 1 (нет решений, т.к. -9/(x+3) = 0 невозможно) или 1 - 9/(x+3) = -1 => 2 = 9/(x+3) => 2(x+3) = 9 => 2x + 6 = 9 => 2x = 3 => x = 1.5. Одно решение.


• Если c > 1: Прямая y = c пересекает график в двух точках (по одной в каждой ветви гиперболы). Два решения.

Таким образом, уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение при c = 0 и при c = 1.

Ответ: c = 0 и c = 1.