ВПР. Математика. 10 класс. Вариант 1. Часть 2 Код 100 15 Дана функция f(x) = |4 - 12 / (x - 3)|. 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение? Решение.

Решение:

1. Построение графика функции $$y = f(x) = |4 - \frac{12}{x-3}|$$.

Сначала построим график функции $$y = 4 - \frac{12}{x-3}$$.

Это гипербола, смещенная относительно графика $$y = -\frac{12}{x}$$.

Горизонтальный асимптот: $$y = 4$$.

Вертикальный асимптот: $$x = 3$$.

Найдем точки пересечения с осями:

• С осью Oy: при $$x = 0$$, $$y = 4 - \frac{12}{0-3} = 4 - \frac{12}{-3} = 4 + 4 = 8$$. Точка (0, 8).
• С осью Ox: $$4 - \frac{12}{x-3} = 0 \rightarrow 4 = \frac{12}{x-3} \rightarrow 4(x-3) = 12 \rightarrow x-3 = 3 \rightarrow x = 6$$. Точка (6, 0).

Построим график $$y = 4 - \frac{12}{x-3}$$ (гипербола, проходящая через точки (0, 8) и (6, 0), с асимптотами $$x=3$$ и $$y=4$$).

Теперь построим график $$y = |4 - \frac{12}{x-3}|$$. Для этого часть графика, лежащую ниже оси Ox, отразим симметрично вверх.

Учтем, что точка (6, 0) остается на оси Ox, а точка (0, 8) остается на месте.

2. При каких значениях $$c$$ уравнение $$f(x) = c$$ имеет ровно одно решение?

Графически это означает, что прямая $$y = c$$ пересекает график функции $$y = |4 - \frac{12}{x-3}|$$ ровно в одной точке.

Рассмотрим график функции:

• При $$c = 0$$, прямая $$y = 0$$ (ось Ox) пересекает график только в точке (6, 0). Значит, $$c = 0$$ - одно решение.
• При $$c = 4$$, прямая $$y = 4$$ является горизонтальной асимптотой для части графика $$y = 4 - \frac{12}{x-3}$$ при $$x > 3$$. Однако, после взятия модуля, эта часть графика поднимается. Точка пересечения с осью Ox - (6,0). Рассмотрим верхнюю часть графика, построенную после отражения.

Анализируя график $$y = |4 - \frac{12}{x-3}|$$, мы видим, что:

• Если $$c$$ находится ниже оси Ox ($$c < 0$$), то решений нет.
• Если $$c = 0$$, есть одно решение (точка x=6).
• Если $$0 < c < 4$$, то прямая $$y=c$$ пересекает график в двух точках (одна из ветвей гиперболы, отраженная вверх, и другая ветвь).
• Если $$c = 4$$, то прямая $$y=4$$ пересекает график в двух точках: одна точка на ветви, которая была выше оси Ox, и другая точка на ветви, которая была ниже оси Ox и теперь отражена вверх.
• Если $$c > 4$$, то прямая $$y=c$$ пересекает график в двух точках.

Посмотрим внимательнее на поведение функции.

Выражение $$4 - \frac{12}{x-3}$$ равно 0 при $$x=6$$.

При $$x > 3$$: $$x-3 > 0$$.

Если $$x > 6$$, то $$x-3 > 3$$, $$\frac{12}{x-3} < 4$$, $$4 - \frac{12}{x-3} > 0$$. Функция $$y = 4 - \frac{12}{x-3}$$ убывает от $$+\infty$$ (при $$x \to 3^+$$) до 0 (при $$x=6$$) и далее растет к 4 (при $$x \to \infty$$).

При $$x < 3$$: $$x-3 < 0$$.

Если $$x < 3$$, то $$x-3 < 0$$, $$\frac{12}{x-3} < 0$$, $$4 - \frac{12}{x-3} > 4$$. Функция $$y = 4 - \frac{12}{x-3}$$ растет от 4 (при $$x \to -\infty$$) до $$+\infty$$ (при $$x \to 3^-$$).

После взятия модуля $$y = |4 - \frac{12}{x-3}|$$.

Для $$x>3$$: когда $$4 - \frac{12}{x-3} > 0$$, график остается без изменений. Это происходит при $$x>6$$. В этом интервале функция убывает от 0 до 4. Когда $$4 - \frac{12}{x-3} < 0$$ (при $$3 < x < 6$$), график отражается. Функция будет расти от 0 (при $$x=6$$) до $$+\infty$$ (при $$x \to 3^+$$). Значит, на интервале $$x>3$$, при $$y=c>0$$, у нас будет два решения, если $$c$$ не равно минимальному значению на ветви (которое равно 0). При $$c=0$$ - одно решение ($$x=6$$).

Для $$x<3$$: $$4 - \frac{12}{x-3} > 4$$, следовательно, $$4 - \frac{12}{x-3}$$ всегда положительно. График не меняется. Функция $$y = 4 - \frac{12}{x-3}$$ растет от 4 до $$+\infty$$.

Итак, для $$x<3$$, $$f(x)$$ принимает значения из $$(4, +\infty)$$.

Для $$x>3$$: $$f(x)$$ принимает значения из $$[0, +\infty)$$.

Совмещая эти интервалы:

• Если $$c=0$$, есть одно решение ($$x=6$$).
• Если $$0 < c < 4$$, есть два решения (одно из $$(3,6)$$, другое из $$(-\infty, 3)$$).
• Если $$c=4$$, есть два решения (одно из $$(-\infty, 3)$$ и одно из $$(3,6)$$).
• Если $$c > 4$$, есть два решения (одно из $$(-\infty, 3)$$ и одно из $$(3,6)$$).

Есть ли ошибка в рассуждениях? Рассмотрим точку, где $$4 - \frac{12}{x-3}$$ становится положительным. Это $$x > 6$$. На интервале $$(-\infty, 3)$$, $$4 - \frac{12}{x-3}$$ всегда $$> 4$$. На интервале $$(3, 6)$$, $$4 - \frac{12}{x-3}$$ отрицательно, при $$x \to 3^+$$ стремится к $$-\infty$$, а при $$x=6$$ равно 0. После модуля, на $$(3, 6)$$ функция $$y=|4 - \frac{12}{x-3}|$$ стремится к $$+\infty$$ при $$x \to 3^+$$ и равна 0 при $$x=6$$. На интервале $$(6, +\infty)$$, $$4 - \frac{12}{x-3}$$ положительно и стремится к 4 при $$x \to +\infty$$.

Построим точнее:

Участок $$x < 3$$: $$y = 4 - \frac{12}{x-3}$$ растет от 4 до $$+\infty$$.

Участок $$3 < x < 6$$: $$y = 4 - \frac{12}{x-3}$$ убывает от $$-\infty$$ до 0. После модуля: $$y = |4 - \frac{12}{x-3}|$$ растет от 0 до $$+\infty$$.

Участок $$x > 6$$: $$y = 4 - \frac{12}{x-3}$$ растет от 0 до 4.

Теперь посмотрим на прямую $$y=c$$.

• $$c < 0$$: нет решений.
• $$c = 0$$: одно решение ($$x=6$$).
• $$0 < c < 4$$: два решения (одно в $$(3,6)$$, одно в $$(-\infty, 3)$$).
• $$c = 4$$: два решения (одно в $$(3,6)$$, одно в $$(-\infty, 3)$$).
• $$c > 4$$: два решения (одно в $$(3,6)$$ и одно в $$(-\infty, 3)$$).

Я упустил важный момент. При $$x>6$$, $$4 - \frac{12}{x-3}$$ растет от 0 до 4. Значит, на этом участке $$f(x)$$ принимает значения в интервале $$[0, 4)$$.

Уточним интервалы значений $$f(x)$$:

• Для $$x < 3$$: $$y$$ принимает значения из $$(4, +\infty)$$.
• Для $$3 < x < 6$$: $$y = |4 - \frac{12}{x-3}|$$. При $$x \to 3^+$$, $$y \to +\infty$$. При $$x=6$$, $$y=0$$. Значит, на $$(3, 6)$$, $$y$$ принимает значения из $$[0, +\infty)$$.
• Для $$x > 6$$: $$y = 4 - \frac{12}{x-3}$$. При $$x=6$$, $$y=0$$. При $$x \to +\infty$$, $$y \to 4$$. Значит, на $$(6, +\infty)$$, $$y$$ принимает значения из $$[0, 4)$$.

Суммируем:

• $$c < 0$$: нет решений.
• $$c = 0$$: одно решение ($$x=6$$).
• $$0 < c < 4$$: три решения (одно из $$(3,6)$$, одно из $$(6, +\infty)$$, одно из $$(-\infty, 3)$$).
• $$c = 4$$: два решения (одно из $$(3,6)$$, одно из $$(-\infty, 3)$$).
• $$c > 4$$: два решения (одно из $$(3,6)$$, одно из $$(-\infty, 3)$$).

В задании спрашивается, при каких $$c$$ уравнение имеет ровно одно решение. Это происходит только при $$c=0$$.

Ответ: $$c = 0$$.