ВПР. Математика. 10 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 10005 16 Дан прямоугольный параллелепипед ABCDА₁B₁C₁D₁, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами AB = √5 и BC = √11. Известно, что CC₁ = 2 и что точка М является серединой ребра AA₁. Найдите косинус угла между прямыми ВМ и C₁A.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. 1. Зададим координаты вершин параллелепипеда.
   Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0). Тогда:
   A = (0, 0, 0)
   B = (√5, 0, 0)
   C = (√5, √11, 0)
   D = (0, √11, 0)
   A₁ = (0, 0, 2)
   B₁ = (√5, 0, 2)
   C₁ = (√5, √11, 2)
   D₁ = (0, √11, 2)
2. 2. Определим координаты точки M.
   M — середина ребра AA₁. Координаты A = (0, 0, 0), A₁ = (0, 0, 2).
   M = ( (0+0)/2, (0+0)/2, (0+2)/2 ) = (0, 0, 1)
3. 3. Найдем векторы ВМ и C₁A.
   Вектор ВМ = M - B = (0 - √5, 0 - 0, 1 - 0) = (-√5, 0, 1).
   Вектор C₁A = A - C₁ = (0 - √5, 0 - √11, 0 - 2) = (-√5, -√11, -2).
4. 4. Вычислим скалярное произведение векторов ВМ и C₁A.
   ВМ · C₁A = (-√5)(-√5) + (0)(-√11) + (1)(-2) = 5 + 0 - 2 = 3.
5. 5. Найдем длины векторов ВМ и C₁A.
   Длина вектора ВМ = |ВМ| = √((-√5)² + 0² + 1²) = √(5 + 0 + 1) = √6.
   Длина вектора C₁A = |C₁A| = √((-√5)² + (-√11)² + (-2)²) = √(5 + 11 + 4) = √20 = 2√5.
6. 6. Найдем косинус угла между векторами.
   Формула косинуса угла между двумя векторами: cos(θ) = (ВМ · C₁A) / (|ВМ| · |C₁A|).
   cos(θ) = 3 / (√6 · 2√5) = 3 / (2√30) = 3√30 / (2 · 30) = 3√30 / 60 = √30 / 20.

Ответ: √30 / 20