ВПР. Математика. 10 класс. Вариант 2. Часть 2 Решите неравенство x²-14x+49 ≥ 0. x²-4х-21 Решение.

Решение неравенства:

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

\[ x^2 - 14x + 49 = (x-7)^2 \]

Знаменатель:

Для знаменателя найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 4x - 21 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{4 \pm 10}{2} \]

\[ x_1 = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

\[ x_2 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

Значит, знаменатель можно записать как \( (x+3)(x-7) \).

Теперь наше неравенство выглядит так:

\[ \frac{(x-7)^2}{(x+3)(x-7)} \ge 0 \]

Обрати внимание, что \( x
e 7 \), так как знаменатель не может быть равен нулю. Также \( x
e -3 \).

Сокращаем \( (x-7) \) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{x-7}{x+3} \ge 0 \]

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем критические точки, приравняв числитель и знаменатель к нулю:

\[ x-7 = 0 \implies x = 7 \]

\[ x+3 = 0 \implies x = -3 \]

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка \( x = -3 \) будет выколотой, так как она обращает знаменатель в ноль. Точка \( x = 7 \) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое (\(\ge\)), но учитываем, что \(x
e 7\) из исходного условия.

Расставим знаки на интервалах:

• При \( x > 7 \) (например, \( x=8 \)): \( \frac{8-7}{8+3} = \frac{1}{11} > 0 \) (плюс)
• При \( -3 < x < 7 \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{0-7}{0+3} = \frac{-7}{3} < 0 \) (минус)
• При \( x < -3 \) (например, \( x=-4 \)): \( \frac{-4-7}{-4+3} = \frac{-11}{-1} = 11 > 0 \) (плюс)

Нам нужно, где выражение \(\ge 0\), то есть где знак плюс. Учитывая, что \(x
e 7\) и \(x
e -3\), получаем:

\[ x \in (-\infty; -3) \cup (7; \infty) \]

Важно: Мы сократили \( x-7 \) из числителя и знаменателя. Если бы мы не сократили, то получили бы \( \frac{(x-7)^2}{(x+3)(x-7)} \ge 0 \). Числитель \( (x-7)^2 \) всегда \(\ge 0\). Если \( x=7 \), то \( \frac{0}{0} \) - неопределенность. Если \( x
e 7 \), то \( (x-7)^2 > 0 \). Тогда знак зависит от знаменателя \( (x+3)(x-7) \).

Рассмотрим случай \( x=7 \) отдельно. Исходное выражение \( \frac{(7-7)^2}{(7+3)(7-7)} = \frac{0}{10 \times 0} = \frac{0}{0} \), что неопределенно. Значит, \( x=7 \) не входит в решение.

Таким образом, решаем \( \frac{x-7}{x+3} \ge 0 \) при условии \( x
e 7 \).

Интервалы, где \(\ge 0\), это \( (-\infty; -3) \) и \( (7; \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (7; \infty) \).