ВПР. Математика. 5 класс. Вариант 1. Часть 2 Через пункты А и Б, расстояние между которыми 165 км, проходит прямолинейное шоссе. Из пунктов А и Б по этому шоссе одновременно начали движение автомобиль и грузовик. Автомобиль едет с постоянной скоростью 90 км/ч, грузовик — с постоянной скоростью 75 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час после начала движения? Найдите все возможные варианты.

Решение:

Задачу можно решить двумя способами, в зависимости от того, в каком направлении движутся автомобиль и грузовик относительно друг друга.

1. Случай 1: Автомобиль и грузовик движутся навстречу друг другу.

   Скорость сближения равна сумме их скоростей: 90 км/ч + 75 км/ч = 165 км/ч.

   Через час расстояние между ними будет равно общему расстоянию минус расстояние, пройденное за час:

   165 км - 165 км = 0 км.

2. Случай 2: Автомобиль и грузовик движутся в одном направлении.

   Предположим, что оба стартуют из пункта А и движутся в сторону пункта Б. Тогда автомобиль, будучи быстрее, обгонит грузовик.

   Скорость, с которой автомобиль удаляется от грузовика, равна разности их скоростей: 90 км/ч - 75 км/ч = 15 км/ч.

   Через час расстояние между ними составит:

   15 км/ч * 1 час = 15 км.

3. Случай 3: Автомобиль и грузовик движутся в одном направлении, но из разных пунктов (например, автомобиль из А в Б, а грузовик из Б в А, при этом Б находится дальше от А).

   Если автомобиль выехал из пункта А, а грузовик из пункта Б, и они движутся в одном направлении (например, от А к Б), то нам нужно рассмотреть два подслучая:

   • Подслучай 3а: Автомобиль догоняет грузовик. Если автомобиль стартует из А, а грузовик из Б, и они движутся в одном направлении, то автомобиль будет сокращать расстояние. Скорость удаления автомобиля от грузовика будет 15 км/ч. Через час расстояние между ними уменьшится на 15 км. Исходное расстояние 165 км. Через час расстояние будет 165 км - 15 км = 150 км.
   • Подслучай 3б: Грузовик опережает автомобиль. Если автомобиль стартует из Б, а грузовик из А, и они движутся в одном направлении (скажем, из А в Б), то грузовик будет двигаться быстрее автомобиля. Скорость, с которой грузовик удаляется от автомобиля, будет 15 км/ч. Через час расстояние между ними будет 165 км + 15 км = 180 км.

Важно: Формулировка «Из пунктов А и Б ... одновременно начали движение» подразумевает, что они могут двигаться как навстречу, так и в одном направлении. В контексте задачи «прямолинейное шоссе» и «пункты А и Б», наиболее вероятными сценариями являются движение навстречу или в одном направлении из А в Б (или из Б в А).

Учитывая, что в задаче просят найти «все возможные варианты», рассмотрим также движение из А в Б и из Б в А.

Возможные варианты:

• Движение навстречу друг другу: Через час расстояние будет 0 км (они встретятся).
• Движение в одном направлении (автомобиль из А, грузовик из Б, А-Б): Скорость автомобиля 90 км/ч, грузовика 75 км/ч. Через час автомобиль проедет 90 км, грузовик 75 км. Расстояние между ними: 165 км - (90 км - 75 км) = 165 км - 15 км = 150 км.
• Движение в одном направлении (грузовик из А, автомобиль из Б, А-Б): Скорость грузовика 75 км/ч, автомобиля 90 км/ч. Через час грузовик проедет 75 км, автомобиль 90 км. Расстояние между ними: 165 км + (90 км - 75 км) = 165 км + 15 км = 180 км.

Перепроверка:

Если оба движутся из А в Б:

• Автомобиль: 90 км/ч * 1 час = 90 км.
• Грузовик: 75 км/ч * 1 час = 75 км.
• Расстояние: 90 км - 75 км = 15 км. (Это расстояние от А до автомобиля, а от А до грузовика 75 км, так что между ними 15 км).

Если оба движутся из Б в А:

• Автомобиль: 90 км/ч * 1 час = 90 км от Б.
• Грузовик: 75 км/ч * 1 час = 75 км от Б.
• Расстояние: 90 км - 75 км = 15 км. (Это расстояние от Б до автомобиля, а от Б до грузовика 75 км, так что между ними 15 км).

Если они движутся навстречу друг другу:

• Автомобиль из А: 90 км/ч * 1 час = 90 км от А.
• Грузовик из Б: 75 км/ч * 1 час = 75 км от Б.
• Общее пройденное расстояние: 90 км + 75 км = 165 км.
• Так как общее расстояние между А и Б равно 165 км, то через час они встретятся. Расстояние между ними будет 0 км.

Учитывая условие «Через пункты А и Б» и «одновременно начали движение», предполагается, что они могут двигаться как навстречу, так и в одном направлении.

Рассмотрим два основных сценария:

1. Движение навстречу друг другу:

   Скорость сближения = Скорость автомобиля + Скорость грузовика = 90 км/ч + 75 км/ч = 165 км/ч.

   Расстояние, которое они пройдут навстречу друг другу за 1 час = 165 км/ч * 1 ч = 165 км.

   Так как расстояние между пунктами А и Б равно 165 км, то через 1 час они встретятся. Расстояние между ними будет 0 км.

2. Движение в одном направлении:

   Предположим, что оба движутся из пункта А в сторону пункта Б.

   Расстояние, пройденное автомобилем за 1 час = 90 км/ч * 1 ч = 90 км.

   Расстояние, пройденное грузовиком за 1 час = 75 км/ч * 1 ч = 75 км.

   Расстояние между ними через 1 час = Расстояние, пройденное автомобилем - Расстояние, пройденное грузовиком = 90 км - 75 км = 15 км.

   Важно: Если они стартуют из разных пунктов (например, автомобиль из А, грузовик из Б) и движутся в одном направлении, то ситуация может быть иной. Однако, формулировка «Из пунктов А и Б... одновременно начали движение» в контексте задачи на движение по шоссе обычно подразумевает движение навстречу или движение в одном направлении из одной точки.

   Наиболее полным ответом, учитывающим «все возможные варианты», будет рассмотрение как движения навстречу, так и движения в одном направлении.

Ответ:

• 0 км (если движутся навстречу друг другу)
• 15 км (если движутся в одном направлении из одной точки)
• 150 км (если автомобиль движется из А, а грузовик из Б в том же направлении, и автомобиль отстает)
• 180 км (если грузовик движется из А, а автомобиль из Б в том же направлении, и автомобиль опережает)

Учитывая контекст типовой задачи, наиболее вероятные варианты: 0 км и 15 км.

Окончательный ответ, учитывающий все возможные варианты движения:

Вариант 1 (навстречу):

Скорость сближения = 90 км/ч + 75 км/ч = 165 км/ч.

За 1 час они проедут 165 км. Поскольку расстояние между пунктами А и Б равно 165 км, они встретятся. Расстояние между ними будет 0 км.

Вариант 2 (в одном направлении, автомобиль догоняет):

Скорость удаления = 90 км/ч - 75 км/ч = 15 км/ч.

За 1 час автомобиль проедет 90 км, грузовик — 75 км. Если они стартовали из одной точки, то расстояние между ними будет 90 км - 75 км = 15 км.

Вариант 3 (в одном направлении, грузовик догоняет):

Если предположить, что автомобиль стартовал из пункта Б, а грузовик из пункта А, и оба движутся по направлению от А к Б, то грузовик будет отставать от автомобиля.

Расстояние, пройденное автомобилем за 1 час (из Б): 90 км.

Расстояние, пройденное грузовиком за 1 час (из А): 75 км.

Изначальное расстояние между А и Б = 165 км.

Положение автомобиля через 1 час от А: 165 км + 90 км = 255 км.

Положение грузовика через 1 час от А: 75 км.

Расстояние между ними: 255 км - 75 км = 180 км.

Вариант 4 (в одном направлении, автомобиль опережает):

Если автомобиль стартовал из пункта А, а грузовик из пункта Б, и оба движутся по направлению от А к Б.

Расстояние, пройденное автомобилем за 1 час (из А): 90 км.

Расстояние, пройденное грузовиком за 1 час (из Б): 75 км.

Положение автомобиля через 1 час от А: 90 км.

Положение грузовика через 1 час от А: 165 км + 75 км = 240 км.

Расстояние между ними: 240 км - 90 км = 150 км.

Итого, возможные расстояния между ними через час: 0 км, 15 км, 150 км, 180 км.

Рассмотрим наиболее распространенные трактовки задачи:

1. Движение навстречу друг другу:

Скорость сближения = 90 км/ч + 75 км/ч = 165 км/ч.

За 1 час они преодолеют 165 км. Так как расстояние между А и Б ровно 165 км, они встретятся. Расстояние между ними = 0 км.

2. Движение в одном направлении (из одного пункта, например, А):

Автомобиль проедет: 90 км/ч * 1 ч = 90 км.

Грузовик проедет: 75 км/ч * 1 ч = 75 км.

Разница в расстоянии: 90 км - 75 км = 15 км.

3. Движение в одном направлении (из разных пунктов, например, автомобиль из А, грузовик из Б):

Автомобиль будет на отметке 90 км от А.

Грузовик будет на отметке 165 км (от А) + 75 км (от Б) = 240 км от А.

Расстояние между ними: 240 км - 90 км = 150 км.

4. Движение в одном направлении (грузовик из А, автомобиль из Б):

Автомобиль будет на отметке 165 км (от А) + 90 км (от Б) = 255 км от А.

Грузовик будет на отметке 75 км от А.

Расстояние между ними: 255 км - 75 км = 180 км.

Все возможные варианты расстояния между ними через час:

0 км (встречное движение)

15 км (движение в одном направлении из одной точки)

150 км (автомобиль из А, грузовик из Б, оба в одном направлении)

180 км (грузовик из А, автомобиль из Б, оба в одном направлении)