ВПР. Математика. 5 класс. Вариант 2. Часть 2. Код 50027. Пункты А и Б, расстояние между которыми 270 км, расположены на прямом участке железной дороги. Из пунктов А и Б одновременно по этой дороге с постоянными скоростями выехали пассажирский и грузовой поезда. Пассажирский поезд идёт с постоянной скоростью 125 км/ч, грузовой — с постоянной скоростью 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час после начала движения? Найдите все возможные варианты.

Привет! Давай разберём эту задачку по физике вместе. Здесь нужно посчитать, какое расстояние будет между поездами через час после их одновременного старта.

Дано:

• Расстояние между пунктами А и Б: 270 км.
• Скорость пассажирского поезда: 125 км/ч.
• Скорость грузового поезда: 90 км/ч.
• Время движения: 1 час.

Найти:

• Расстояние между поездами через 1 час.

Решение:

Сначала найдём, какое расстояние проедет каждый поезд за 1 час. Для этого умножим скорость каждого поезда на время:

1. Расстояние, которое проехал пассажирский поезд:
• \[ S_{пасс} = V_{пасс} \times t \]
• \[ S_{пасс} = 125 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 125 \text{ км} \]
2. Расстояние, которое проехал грузовой поезд:
• \[ S_{груз} = V_{груз} \times t \]
• \[ S_{груз} = 90 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 90 \text{ км} \]

Теперь нам нужно понять, как поезда двигались относительно друг друга. У нас есть два возможных варианта:

1. Вариант 1: Поезда едут навстречу друг другу.
• В этом случае расстояние между ними будет суммой расстояний, которые они проехали, плюс начальное расстояние между пунктами А и Б. Однако, в условии сказано, что они выехали одновременно из пунктов А и Б. Это значит, что они должны были встретиться, если бы ехали навстречу. Но в условии не сказано, что они встретились, а спрашивается расстояние между ними. Поэтому этот вариант не подходит, если они стартовали из разных пунктов и двигались навстречу.
• НО! Если предположить, что они выехали из одного пункта А в разные стороны (один к Б, другой от Б), или из разных пунктов, но нам нужно найти расстояние между ними, то нам нужно учитывать направление. В условии сказано: «Из пунктов А и Б одновременно по этой дороге с постоянными скоростями выехали пассажирский и грузовой поезда.» Это значит, что они едут по одной дороге. Есть два варианта:
• 1.1. Поезда едут в одном направлении.
• Если пассажирский поезд выехал из А, а грузовой из Б, и они едут в одном направлении (например, оба в сторону некоей точки С, которая дальше Б), то их начальное расстояние (270 км) будет уменьшаться или увеличиваться в зависимости от того, кто быстрее.
• 1.1.1. Пассажирский поезд выехал из А, грузовой из Б, и оба едут в сторону С (дальше Б).
• В этом случае пассажирский поезд, который едет быстрее, будет удаляться от грузового поезда. Расстояние между ними будет равно начальному расстоянию плюс разница в расстоянии, которое они проехали.
• Разница в пройденном расстоянии: \( S_{пасс} - S_{груз} = 125 \text{ км} - 90 \text{ км} = 35 \text{ км} \)
• Однако, этот вариант нелогичен, если они выехали из А и Б одновременно ПО ДОРОГЕ. Скорее всего, они едут навстречу или в одном направлении с одной точки.
• 1.2. Поезда едут навстречу друг другу.
• В этом случае расстояние между ними будет уменьшаться. Через час расстояние между ними будет:
• \[ S_{встречи} = \text{Начальное расстояние} - (S_{пасс} + S_{груз}) \]
• \[ S_{встречи} = 270 \text{ км} - (125 \text{ км} + 90 \text{ км}) = 270 \text{ км} - 215 \text{ км} = 55 \text{ км} \]
• Это один из возможных вариантов.
• 1.3. Поезда едут в одном направлении.
• Предположим, оба поезда выехали из пункта А (или из пункта Б, или из другого пункта, но это не указано). Важнее то, что они движутся ПО ОДНОЙ ДОРОГЕ.
• 1.3.1. Пассажирский поезд едет быстрее грузового.
• В этом случае пассажирский поезд будет удаляться от грузового. Разница в расстоянии, которое они проехали за час, составит:
• \[ \Delta S = S_{пасс} - S_{груз} = 125 \text{ км} - 90 \text{ км} = 35 \text{ км} \]
• Если они стартовали из одной точки, то через час расстояние между ними будет 35 км.
• Это второй возможный вариант.
• 1.3.2. Грузовой поезд едет быстрее пассажирского.
• Это невозможно, так как скорость пассажирского поезда (125 км/ч) больше скорости грузового (90 км/ч).
• 1.4. Другой вариант: Они выехали из пунктов А и Б, но движутся в одном направлении.
• Допустим, пункт А находится левее пункта Б. И оба поезда едут направо.
• Пассажирский поезд проехал 125 км от А.
• Грузовой поезд проехал 90 км от Б.
• Расстояние между А и Б = 270 км.
• Координата пассажирского поезда (относительно А): 125 км.
• Координата грузового поезда (относительно А): 270 км (точка Б) + 90 км (проехал от Б) = 360 км.
• Расстояние между ними: \( 360 \text{ км} - 125 \text{ км} = 235 \text{ км} \)
• Это третий возможный вариант.
• А если пункт Б находится левее пункта А, и оба едут направо?
• Расстояние между А и Б = 270 км.
• Пассажирский поезд проехал 125 км от А.
• Грузовой поезд проехал 90 км от Б.
• Пусть А = 0. Тогда Б = -270.
• Координата пассажирского поезда: 125 км.
• Координата грузового поезда: -270 км + 90 км = -180 км.
• Расстояние между ними: \( 125 \text{ км} - (-180 \text{ км}) = 125 \text{ км} + 180 \text{ км} = 305 \text{ км} \)
• Это четвертый возможный вариант.
• Еще возможен вариант, что они движутся навстречу, но один из них успел проехать часть пути, а потом началось движение другого. Но условие гласит "одновременно".
• Рассмотрим еще раз условие: «Из пунктов А и Б одновременно по этой дороге с постоянными скоростями выехали пассажирский и грузовой поезда».
• Это может означать, что они едут:
• а) Навстречу друг другу.
• б) В одном направлении (например, оба из А в сторону Б, или оба из Б в сторону А).

Давай разберем эти два основных случая:

1. Случай 1: Поезда едут навстречу друг другу.
• Пассажирский поезд проехал 125 км.
• Грузовой поезд проехал 90 км.
• Общее расстояние, которое они преодолели вместе, равно сумме пройденных расстояний:
• \[ 125 \text{ км} + 90 \text{ км} = 215 \text{ км} \]
• Начальное расстояние между пунктами А и Б было 270 км.
• Через час расстояние между поездами будет:
• \[ 270 \text{ км} - 215 \text{ км} = 55 \text{ км} \]
• Это один из возможных вариантов ответа.
2. Случай 2: Поезда едут в одном направлении.
• Предположим, оба поезда выехали из пункта А и едут в направлении пункта Б. Пассажирский поезд проехал 125 км, а грузовой — 90 км.
• Разница в пройденных расстояниях:
• \[ 125 \text{ км} - 90 \text{ км} = 35 \text{ км} \]
• Если они стартовали из одного пункта, то через час расстояние между ними будет 35 км.
• Это второй возможный вариант ответа.
3. А если они стартовали из разных пунктов, но в одном направлении?
• Например, пассажирский из А, грузовой из Б, и оба едут дальше от А в сторону Б (или за Б).
• Тогда расстояние между ними будет:
• \[ (270 \text{ км} + 90 \text{ км}) - 125 \text{ км} = 360 \text{ км} - 125 \text{ км} = 235 \text{ км} \]
• (Это если грузовой поезд стартовал из Б, который дальше от А, и оба едут в одном направлении от А).
• Или, если пассажирский стартовал из Б, а грузовой из А, и оба едут в одном направлении от А:
• \[ 270 \text{ км} + 125 \text{ км} - 90 \text{ км} = 395 \text{ км} - 90 \text{ км} = 305 \text{ км} \]
• Но давайте вернемся к самой простой интерпретации условия: «Из пунктов А и Б одновременно... выехали».
• Это чаще всего подразумевает либо движение навстречу, либо движение в одном направлении из одной точки.
• Если они едут из разных точек (А и Б) в одном направлении, то здесь есть несколько подвариантов в зависимости от того, какой пункт левее/правее и куда они едут.
• Учитывая, что это задача для 5 класса, скорее всего, рассматриваются два базовых случая: движение навстречу и движение в одном направлении из одной точки.

Подведем итоги:

Вариант 1: Поезда едут навстречу друг другу.

• Расстояние между ними через час составит:
• \[ 270 \text{ км} - (125 \text{ км} + 90 \text{ км}) = 270 \text{ км} - 215 \text{ км} = 55 \text{ км} \]

Вариант 2: Поезда едут в одном направлении (например, из пункта А).

• Расстояние между ними через час составит:
• \[ 125 \text{ км} - 90 \text{ км} = 35 \text{ км} \]

Если же они едут из разных пунктов (А и Б) в одном направлении, то возможны и другие варианты:

1. Пассажирский из А, грузовой из Б (Б правее А), оба едут вправо: \( (270 + 90) - 125 = 235 \text{ км} \)
2. Грузовой из А, пассажирский из Б (Б правее А), оба едут вправо: \( (270 + 125) - 90 = 305 \text{ км} \)
3. Пассажирский из Б, грузовой из А (А правее Б), оба едут влево: \( (270 + 125) - 90 = 305 \text{ км} \)
4. Грузовой из Б, пассажирский из А (А правее Б), оба едут влево: \( (270 + 90) - 125 = 235 \text{ км} \)

Ответ: Наиболее вероятными и простыми для понимания в 5 классе являются два варианта: 55 км (движение навстречу) и 35 км (движение в одном направлении из одной точки). Однако, если учитывать движение из разных пунктов в одном направлении, то возможны также 235 км и 305 км.

Ответ: 35 км, 55 км, 235 км, 305 км.