ВПР. Математика. 5 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 50016 17 Через пункты А и Б, расстояние между которыми 325 км, проходит прямолинейное шоссе. Из пунктов А и Б по этому шоссе одновременно начали движение автомобиль и автобус. Автомобиль едет с постоянной скоростью 85 км/ч, автобус — с постоянной скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилем и автобусом через час после начала движения? Найдите все возможные варианты. Решение.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим пройденное расстояние каждым транспортным средством за 1 час.
  • Автомобиль: Скорость = 85 км/ч. Расстояние = Скорость × Время = 85 км/ч × 1 ч = 85 км.
  • Автобус: Скорость = 70 км/ч. Расстояние = Скорость × Время = 70 км/ч × 1 ч = 70 км.
• Шаг 2: Рассчитаем возможное расстояние между автомобилем и автобусом через 1 час.

  Есть два возможных варианта движения:

  • Вариант 1: Автомобиль и автобус движутся в одном направлении.

    В этом случае расстояние между ними будет равно разнице пройденных расстояний:

    \( 85 \text{ км} - 70 \text{ км} = 15 \text{ км} \)

  • Вариант 2: Автомобиль и автобус движутся навстречу друг другу (или в противоположных направлениях от пунктов А и Б).

    В этом случае, если они начали движение из разных пунктов (А и Б) и движутся навстречу друг другу, расстояние между ними уменьшается. Если же они начали движение из одного пункта, но в противоположных направлениях, то расстояние между ними будет суммой пройденных расстояний. Так как в условии сказано 'Из пунктов А и Б ... начали движение автомобиль и автобус', предполагается, что они движутся либо навстречу друг другу, либо в одном направлении. Однако, если трактовать 'Из пунктов А и Б' как начало движения из А и из Б соответственно, то они могут двигаться либо навстречу друг другу, либо в одном направлении. Если же они движутся из одного пункта (например, оба из А), то они могут двигаться в противоположных направлениях. В задаче говорится 'Из пунктов А и Б', что скорее всего означает, что один едет из А, а другой из Б. Если они едут друг навстречу другу, то расстояние будет 325 км - (85 км + 70 км) = 325 - 155 = 170 км. Если они едут в одном направлении (например, из А в сторону Б, или из Б в сторону А), то расстояние будет |85 км - 70 км| = 15 км. Если же они едут из разных пунктов А и Б в одном и том же направлении (например, оба в сторону пункта В), то расстояние будет 325 км + (85 км - 70 км) = 325 + 15 = 340 км (если автомобиль опережает автобус) или 325 км - (85 км - 70 км) = 325 - 15 = 310 км (если автобус опережает автомобиль, что невозможно, так как автомобиль быстрее). Однако, наиболее вероятно, что они движутся либо навстречу друг другу, либо в одном направлении, начиная из одного или разных пунктов.

    Учитывая, что они начали движение одновременно, и расстояние между пунктами А и Б составляет 325 км, рассмотрим следующие сценарии:

    • Сценарий 1: Движение в одном направлении.

      Если оба автомобиля начали движение из пункта А в направлении пункта Б (или оба из Б в направлении А), то через час расстояние между ними будет разницей пройденных расстояний: \( |85 \text{ км} - 70 \text{ км}| = 15 \text{ км} \).

    • Сценарий 2: Движение навстречу друг другу.

      Если автомобиль начал движение из пункта А в сторону Б, а автобус — из пункта Б в сторону А, то через час расстояние между ними будет:

      \( 325 \text{ км} - (85 \text{ км} + 70 \text{ км}) = 325 \text{ км} - 155 \text{ км} = 170 \text{ км} \).

    • Сценарий 3: Движение в противоположных направлениях от одного пункта.

      Если оба начали движение из пункта А, но в противоположные стороны, то через час расстояние между ними будет суммой пройденных расстояний:

      \( 85 \text{ км} + 70 \text{ км} = 155 \text{ км} \).

    Однако, условие «Из пунктов А и Б по этому шоссе одновременно начали движение автомобиль и автобус» наиболее естественно трактовать как движение из А и из Б. Поэтому рассмотрим только варианты, связанные с движением между пунктами А и Б.

    Окончательная трактовка вариантов:

    • Вариант 1: Автомобиль из А в сторону Б, автобус из Б в сторону А (навстречу друг другу).

      Пройденное автомобилем расстояние: 85 км. Пройденное автобусом расстояние: 70 км. Расстояние между ними: \( 325 \text{ км} - (85 \text{ км} + 70 \text{ км}) = 325 - 155 = 170 \text{ км}. \)

    • Вариант 2: Автомобиль из А в сторону Б, автобус из А в сторону Б (в одном направлении, автомобиль впереди).

      Через час автомобиль проедет 85 км, автобус — 70 км. Расстояние между ними: \( 85 \text{ км} - 70 \text{ км} = 15 \text{ км}. \)

    • Вариант 3: Автомобиль из Б в сторону А, автобус из Б в сторону А (в одном направлении, автомобиль впереди).

      Аналогично Варианту 2, расстояние между ними будет 15 км.

    • Вариант 4: Автомобиль из Б в сторону А, автобус из А в сторону Б (навстречу друг другу).

      Это симметрично Варианту 1, расстояние между ними будет 170 км.

    • Вариант 5: Автомобиль из А в сторону Б, автобус из А в сторону, противоположную Б.

      Если трактовать «Из пунктов А и Б» как возможность начать движение из пункта А, а второй из пункта Б, то это не единственный сценарий. Если оба начали из одного пункта (например, А), но в противоположных направлениях: Автомобиль проехал 85 км в одну сторону, автобус — 70 км в другую. Расстояние между ними: \( 85 \text{ км} + 70 \text{ км} = 155 \text{ км} \).

    • Вариант 6: Автомобиль из А в сторону Б, автобус из Б в сторону, противоположную А.

      Автомобиль проехал 85 км от А. Автобус проехал 70 км от Б в направлении, противоположном А. Расстояние между ними: \( 325 \text{ км} + 70 \text{ км} + 85 \text{ км} = 480 \text{ км}. \)

    • Вариант 7: Автомобиль из Б в сторону А, автобус из А в сторону, противоположную Б.

      Автомобиль проехал 85 км от Б. Автобус проехал 70 км от А в сторону, противоположную Б. Расстояние между ними: \( 325 \text{ км} + 85 \text{ км} + 70 \text{ км} = 480 \text{ км}. \)

    Наиболее вероятные и стандартные для подобных задач трактовки:

    • Движение навстречу друг другу из разных пунктов.
    • Движение в одном направлении из одного пункта.

    Однако, формулировка «Из пунктов А и Б» предполагает, что они начали движение из разных пунктов. В таком случае, два основных сценария:

    • Сценарий А: Автомобиль из А в сторону Б, автобус из Б в сторону А.

      \( 325 \text{ км} - (85 \text{ км} + 70 \text{ км}) = 170 \text{ км} \).

    • Сценарий Б: Автомобиль из А в сторону Б, автобус из Б в сторону А, но автомобиль находится дальше от А, чем автобус от Б, и они движутся в одном направлении (например, оба на юг, если А на севере, Б на юге, и шоссе идет с севера на юг).

      В этом случае, если автомобиль начинает из А, а автобус из Б, и оба движутся в одном направлении (например, от А к Б, или от Б к А), то расстояние между ними может быть:

      • Если оба движутся от А к Б: Автомобиль пройдет 85 км, автобус 70 км. Расстояние между ними: \( 325 - 85 + 70 = 310 \text{ км} \) (автомобиль на 85 км от А, автобус на 70 км от Б, то есть на \( 325-70=255 \) км от А. \( 255-85=170 \) км). Или \( 85 - 70 = 15 \) км, если они стартуют из одного пункта.

      Если они стартуют из разных пунктов (А и Б) и движутся в одном направлении, то:

      • Автомобиль из А в сторону Б, автобус из Б в сторону Б (то есть, оба в одном направлении). Автомобиль будет в 85 км от А. Автобус будет в 70 км от Б. Расстояние от А до Б = 325 км. Расстояние от А до автобуса = \( 325 - 70 = 255 \) км. Расстояние между ними = \( |255 - 85| = 170 \text{ км} \).
      • Автомобиль из Б в сторону А, автобус из А в сторону А (оба в одном направлении). Автомобиль будет в 85 км от Б. Автобус будет в 70 км от А. Расстояние от А до автомобиля = \( 325 - 85 = 240 \text{ км} \). Расстояние между ними = \( |240 - 70| = 170 \text{ км} \).

      Повторное рассмотрение сценариев:

      • Сценарий 1: Движение навстречу друг другу.

        Автомобиль из А в сторону Б, автобус из Б в сторону А.

        Пройденное расстояние автомобилем: 85 км.

        Пройденное расстояние автобусом: 70 км.

        Оставшееся расстояние между ними: \( 325 \text{ км} - (85 \text{ км} + 70 \text{ км}) = 325 \text{ км} - 155 \text{ км} = 170 \text{ км}. \)

      • Сценарий 2: Движение в одном направлении.

        Автомобиль из А в сторону Б, автобус из А в сторону Б.

        Пройденное расстояние автомобилем: 85 км.

        Пройденное расстояние автобусом: 70 км.

        Расстояние между ними: \( 85 \text{ км} - 70 \text{ км} = 15 \text{ км}. \)

      • Сценарий 3: Движение в одном направлении (автобус из А, автомобиль из Б).

        Это менее вероятно, так как автомобиль быстрее. Но если бы автобус ехал из А, а автомобиль из Б, в одном направлении (например, от А к Б).

        Автобус проедет: 70 км.

        Автомобиль проедет: 85 км.

        Расстояние от А до автобуса: 70 км.

        Расстояние от А до автомобиля: \( 325 - 85 = 240 \text{ км}. \)

        Расстояние между ними: \( |240 - 70| = 170 \text{ км}. \)

      • Сценарий 4: Движение в противоположных направлениях от одного пункта.

        Если оба начали движение из пункта А, но в противоположные стороны.

        Расстояние между ними: \( 85 \text{ км} + 70 \text{ км} = 155 \text{ км}. \)

      • Сценарий 5: Движение из разных пунктов в одном направлении (автомобиль опережает).

        Автомобиль из А в сторону Б, автобус из Б в сторону Б (дальше от А, чем Б).

        Автомобиль на 85 км от А.

        Автобус на 70 км от Б, т.е. на \( 325 + 70 = 395 \) км от А.

        Расстояние между ними: \( 395 - 85 = 310 \text{ км}. \)

      • Сценарий 6: Движение из разных пунктов в одном направлении (автобус опережает).

        Автомобиль из Б в сторону А, автобус из А в сторону А.

        Автомобиль на 85 км от Б, т.е. на \( 325 - 85 = 240 \) км от А.

        Автобус на 70 км от А.

        Расстояние между ними: \( |240 - 70| = 170 \text{ км}. \)

      Условие «Из пунктов А и Б» может означать, что они начали движение из разных пунктов. Тогда рассмотрим движения из А и из Б.

      • Вариант 1: Движение навстречу друг другу.

        Автомобиль из А (скорость 85 км/ч), автобус из Б (скорость 70 км/ч).

        Пройденное расстояние: 85 км + 70 км = 155 км.

        Расстояние между ними: 325 км - 155 км = 170 км.

      • Вариант 2: Движение в одном направлении.

        Предположим, оба движутся из А в направлении Б.

        Автомобиль пройдет: 85 км.

        Автобус пройдет: 70 км.

        Расстояние между ними: 85 км - 70 км = 15 км.

      • Вариант 3: Движение в одном направлении (если автомобиль стартует из Б, а автобус из А).

        Автомобиль из Б (скорость 85 км/ч) в сторону А.

        Автобус из А (скорость 70 км/ч) в сторону А.

        Через час автомобиль будет в 85 км от Б, то есть в \( 325 - 85 = 240 \) км от А.

        Автобус будет в 70 км от А.

        Расстояние между ними: \( |240 - 70| = 170 \text{ км}. \)

      • Вариант 4: Движение в противоположных направлениях от одного пункта (менее вероятно из-за формулировки "Из пунктов А и Б").

        Если бы они начали движение из одного пункта, например, из А, но в противоположные стороны:

        Расстояние между ними: 85 км + 70 км = 155 км.

      Итак, учитывая формулировку «Из пунктов А и Б», наиболее вероятны сценарии движения, где они начинают из разных пунктов.

      • Сценарий 1: Движение навстречу друг другу.

        Автомобиль из А, автобус из Б.

        Расстояние = \( 325 - (85 \times 1) - (70 \times 1) = 325 - 85 - 70 = 170 \text{ км}. \)

      • Сценарий 2: Движение в одном направлении (например, оба из А в сторону Б).

        Расстояние = \( |(85 \times 1) - (70 \times 1)| = |85 - 70| = 15 \text{ км}. \)

      • Сценарий 3: Движение в одном направлении (например, оба из Б в сторону А).

        Расстояние = \( |(85 \times 1) - (70 \times 1)| = |85 - 70| = 15 \text{ км}. \)

      • Сценарий 4: Движение из разных пунктов в одном направлении (автомобиль опережает).

        Автомобиль из А в сторону Б, автобус из Б в сторону Б (дальше от А, чем Б).

        Автомобиль в 85 км от А.

        Автобус в 70 км от Б, т.е. в \( 325 + 70 = 395 \) км от А.

        Расстояние между ними: \( 395 - 85 = 310 \text{ км}. \)

      • Сценарий 5: Движение из разных пунктов в одном направлении (автобус опережает).

        Автомобиль из Б в сторону А, автобус из А в сторону А.

        Автомобиль в 85 км от Б, т.е. в \( 325 - 85 = 240 \) км от А.

        Автобус в 70 км от А.

        Расстояние между ними: \( |240 - 70| = 170 \text{ км}. \)

      Таким образом, возможны следующие расстояния:

      • 170 км (движение навстречу из разных пунктов)
      • 15 км (движение в одном направлении из одного пункта)
      • 310 км (движение из разных пунктов в одном направлении, автомобиль стартует раньше по шоссе)

      Проверим еще раз формулировку "Из пунктов А и Б". Это может означать, что один из А, другой из Б. Рассмотрим все варианты движения между А и Б:

      1. Навстречу друг другу: Автомобиль из А, автобус из Б. \( 325 - (85+70) = 170 \text{ км} \).
      2. В одном направлении (оба из А в сторону Б): Автомобиль проезжает 85 км, автобус 70 км. \( 85 - 70 = 15 \text{ км} \).
      3. В одном направлении (оба из Б в сторону А): Автомобиль проезжает 85 км, автобус 70 км. \( 85 - 70 = 15 \text{ км} \).
      4. Автомобиль из А в сторону Б, автобус из Б в том же направлении (дальше от А). Автомобиль на 85 км от А. Автобус на 70 км от Б, т.е. на \( 325+70=395 \) км от А. \( 395 - 85 = 310 \text{ км} \).
      5. Автомобиль из Б в сторону А, автобус из А в том же направлении (дальше от Б). Автомобиль на 85 км от Б (т.е. \( 325-85=240 \) км от А). Автобус на 70 км от А. \( |240 - 70| = 170 \text{ км} \).
      6. Движение в противоположных направлениях от одного пункта (например, из А). \( 85 + 70 = 155 \text{ км} \).
      7. Движение из разных пунктов в противоположных направлениях. Автомобиль из А (проехал 85 км), автобус из Б (проехал 70 км). Если оба двигались