ВПР. Математика. 6 класс. Вариант 1. Часть 2 17 В семи ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество нечётно, больше 60 и меньше 150? Решение.

Пошаговое решение:

• Пусть $$x$$ — количество красных шаров, $$y$$ — количество синих шаров, $$z$$ — количество белых шаров.
• Всего ящиков — 7.
• Обозначим количество шаров в одном ящике для каждого цвета: $$k_r$$, $$k_b$$, $$k_s$$.
• Тогда общее количество красных шаров $$x = 7k_r$$, синих $$y = 7k_s$$, белых $$z = 7k_b$$.
• Из условия: Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. Так как в каждом ящике одинаковое количество синих шаров $$k_s$$, а общее количество белых шаров $$z = 7k_b$$, то $$k_s = z$$.
• Аналогично: Число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Так как в каждом ящике одинаковое количество белых шаров $$k_b$$, а общее количество красных шаров $$x = 7k_r$$, то $$k_b = x$$.
• Теперь запишем количество синих шаров: $$y = 7k_s$$. Подставляя $$k_s = z$$, получаем $$y = 7z$$.
• Также запишем количество белых шаров: $$z = 7k_b$$. Подставляя $$k_b = x$$, получаем $$z = 7x$$.
• Составим систему уравнений:
• $$y = 7z$$
• $$z = 7x$$
• $$x = ?$$ (красные шары)
• $$y = ?$$ (синие шары)
• $$z = ?$$ (белые шары)
• Подставим $$z=7x$$ в первое уравнение: $$y = 7(7x) = 49x$$.
• Теперь у нас есть соотношения: $$z = 7x$$ и $$y = 49x$$.
• Общее количество шаров $$T = x + y + z = x + 49x + 7x = 57x$$.
• Нам известно, что общее количество шаров нечётно, больше 60 и меньше 150.
• $$57x > 60 ightarrow x > 60/57 ightarrow x > 1.05...$$
• $$57x < 150 ightarrow x < 150/57 ightarrow x < 2.63...$$
• Так как $$x$$ — количество шаров, оно должно быть целым числом. Единственное целое число между 1.05 и 2.63 — это 2.
• При $$x=2$$:
• $$T = 57 imes 2 = 114$$.
• Проверим условия:
• $$114$$ — чётное число. Это противоречит условию, что количество шаров нечётно.
• Давайте пересмотрим условие: "Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках."
• Пусть $$N=7$$ - количество ящиков.
• Пусть $$s_i$$ — количество синих шаров в $$i$$-м ящике, $$b_i$$ — количество белых шаров в $$i$$-м ящике, $$r_i$$ — количество красных шаров в $$i$$-м ящике.
• Общее количество синих шаров: $$S = rac{1}{N} imes ext{общее количество синих шаров} imes N$$? Нет.
• Обозначим общее количество шаров как $$T$$.
• Пусть $$r, s, b$$ — общее количество красных, синих и белых шаров соответственно.
• $$T = r + s + b$$.
• Из условия "Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках":
• Предположим, что в каждом ящике одинаковое количество шаров каждого цвета. Пусть $$s_1$$ — количество синих шаров в одном ящике, $$b_1$$ — количество белых, $$r_1$$ — количество красных.
• Общее количество синих шаров $$s = N imes s_1$$.
• Общее количество белых шаров $$b = N imes b_1$$.
• Общее количество красных шаров $$r = N imes r_1$$.
• Условие 1: $$s_1 = (N-1) b_1$$.
• Условие 2: $$b_1 = (N-1) r_1$$.
• Подставим $$N=7$$:
• $$s_1 = 6b_1$$.
• $$b_1 = 6r_1$$.
• Тогда $$s = 7 imes s_1 = 7 imes (6b_1) = 42b_1$$.
• $$b = 7 imes b_1$$.
• $$r = 7 imes r_1$$.
• Подставим $$b_1 = 6r_1$$:
• $$s = 42 imes (6r_1) = 252r_1$$.
• $$b = 7 imes (6r_1) = 42r_1$$.
• $$r = 7 imes r_1$$.
• Общее количество шаров $$T = r + s + b = 7r_1 + 252r_1 + 42r_1 = 301r_1$$.
• Теперь проверяем условия $$60 < T < 150$$ и $$T$$ — нечётно.
• $$T = 301r_1$$.
• Если $$r_1 = 1$$, то $$T = 301$$. Это больше 150.
• Этот подход с предположением одинакового количества шаров в каждом ящике неверен.
• Вернемся к первому подходу, но с корректным пониманием условий.
• Пусть $$r, s, b$$ — общее количество красных, синих, белых шаров.
• Пусть $$r_i, s_i, b_i$$ — количество шаров $$i$$-го цвета в $$j$$-м ящике.
• $$r = ext{сумма}(r_i)$$, $$s = ext{сумма}(s_i)$$, $$b = ext{сумма}(b_i)$$ для $$i=1...7$$.
• Условие 1: $$s_i = b - b_i$$. (Синие шары в $$i$$-м ящике = общее число белых - белые в $$i$$-м ящике).
• Условие 2: $$b_i = r - r_i$$. (Белые шары в $$i$$-м ящике = общее число красных - красные в $$i$$-м ящике).
• Суммируя по всем ящикам:
• $$ ext{сумма}(s_i) = ext{сумма}(b - b_i) ightarrow s = ext{сумма}(b) - ext{сумма}(b_i) ightarrow s = 7b - b ightarrow s = 6b$$.
• $$ ext{сумма}(b_i) = ext{сумма}(r - r_i) ightarrow b = ext{сумма}(r) - ext{сумма}(r_i) ightarrow b = 7r - r ightarrow b = 6r$$.
• Итак, мы получили: $$s = 6b$$ и $$b = 6r$$.
• Подставим $$b = 6r$$ в первое уравнение: $$s = 6(6r) = 36r$$.
• Общее количество шаров $$T = r + s + b = r + 36r + 6r = 43r$$.
• Теперь применим условия: $$60 < T < 150$$ и $$T$$ — нечётно.
• $$T = 43r$$.
• $$60 < 43r < 150$$.
• $$r > 60/43 ightarrow r > 1.39...$$
• $$r < 150/43 ightarrow r < 3.48...$$
• $$r$$ — целое число, значит $$r$$ может быть 2 или 3.
• Если $$r=2$$: $$T = 43 imes 2 = 86$$. Это число чётное. Не подходит.
• Если $$r=3$$: $$T = 43 imes 3 = 129$$. Это число нечётное. Подходит.
• Проверим, что $$129$$ больше 60 и меньше 150. Да, $$60 < 129 < 150$$.
• Итак, общее количество шаров равно 129.

Ответ: 129