ВПР. Математика. 6 класс. Вариант 2. Часть 2. В пяти ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество чётно, больше 50 и меньше 100?

Привет! Давай разберемся с этой задачкой вместе.

Что нам известно?

• Есть 5 ящиков.
• В каждом ящике есть красные, синие и белые шары.
• Условие 1: Число синих шаров в одном ящике = сумме белых шаров во всех остальных 4 ящиках.
• Условие 2: Число белых шаров в одном ящике = сумме красных шаров во всех остальных 4 ящиках.
• Общее количество шаров четное, больше 50 и меньше 100.

Что нужно найти? Общее количество шаров.

Давай обозначим:

• Пусть $$S_i$$ — количество синих шаров в ящике $$i$$.
• Пусть $$B_i$$ — количество белых шаров в ящике $$i$$.
• Пусть $$R_i$$ — количество красных шаров в ящике $$i$$.
• $$i$$ принимает значения от 1 до 5.

Запишем условия в виде формул:

1. Для любого ящика $$i$$: $$S_i = B_j + B_k + B_l + B_m$$, где $$j, k, l, m$$ — это номера остальных четырех ящиков.
2. Для любого ящика $$i$$: $$B_i = R_j + R_k + R_l + R_m$$, где $$j, k, l, m$$ — это номера остальных четырех ящиков.

Суммируем все шары:

Общее количество синих шаров: $$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5$$.

Общее количество белых шаров: $$B_{общ} = B_1 + B_2 + B_3 + B_4 + B_5$$.

Общее количество красных шаров: $$R_{общ} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5$$.

Общее количество шаров $$N = S_{общ} + B_{общ} + R_{общ}$$.

Теперь преобразуем Условие 1:

$$S_1 = B_2 + B_3 + B_4 + B_5$$

$$S_2 = B_1 + B_3 + B_4 + B_5$$

...и так далее.

Если сложить все эти равенства, получим:

$$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = (B_2 + B_3 + B_4 + B_5) + (B_1 + B_3 + B_4 + B_5) + ...$$

Левая часть — это $$S_{общ}$$.

Правая часть — это 4 раза $$B_1 + B_2 + B_3 + B_4 + B_5$$, то есть $$4 \times B_{общ}$$.

Итак, $$S_{общ} = 4 \times B_{общ}$$.

Аналогично преобразуем Условие 2:

$$B_1 = R_2 + R_3 + R_4 + R_5$$

$$B_2 = R_1 + R_3 + R_4 + R_5$$

...и так далее.

Складывая, получаем: $$B_{общ} = 4 \times R_{общ}$$.

Теперь подставим эти соотношения в общее количество шаров:

$$N = S_{общ} + B_{общ} + R_{общ}$$

Мы знаем, что $$S_{общ} = 4 \times B_{общ}$$.

И $$B_{общ} = 4 \times R_{общ}$$, значит $$R_{общ} = \frac{B_{общ}}{4}$$.

Подставляем:

$$N = (4 \times B_{общ}) + B_{общ} + (\frac{B_{общ}}{4})$$

$$N = 5 \times B_{общ} + \frac{B_{общ}}{4}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$N = \frac{20 \times B_{общ}}{4} + \frac{B_{общ}}{4} = \frac{21 \times B_{общ}}{4}$$

Отсюда следует, что $$B_{общ}$$ должно делиться на 4, а $$N$$ должно делиться на 21. Это значит, что общее количество шаров $$N$$ должно быть кратно 21.

Вспомним условия:

• $$N$$ — четное число.
• $$50 < N < 100$$.

Найдем числа, кратные 21, которые попадают в этот диапазон:

• $$21 \times 1 = 21$$ (меньше 50)
• $$21 \times 2 = 42$$ (меньше 50)
• $$21 \times 3 = 63$$ (подходит! 50 < 63 < 100)
• $$21 \times 4 = 84$$ (подходит! 50 < 84 < 100)
• $$21 \times 5 = 105$$ (больше 100)

У нас есть два кандидата: 63 и 84.

По условию $$N$$ должно быть четным. Число 63 — нечетное, значит, оно нам не подходит.

Число 84 — четное, и оно больше 50 и меньше 100. Проверяем, делится ли оно на 21: $$84 : 21 = 4$$. Да, делится.

Проверяем, делится ли $$B_{общ}$$ на 4. Если $$N=84$$, то $$84 = \frac{21 \times B_{общ}}{4}$$, значит $$B_{общ} = \frac{84 \times 4}{21} = 4 \times 4 = 16$$. Число 16 делится на 4. Всё сходится!

Ответ: 84