ВПР. Математика. 6 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 60044 17 Аня загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр. у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 391. Какую цифру зачеркнула Аня? Решение.

Привет! Давай разберемся с этой задачкой вместе.

Обозначим четырехзначное число, которое загадала Аня, как ABCD, где A, B, C, D — цифры этого числа. Важно помнить, что первая цифра (A) не может быть нулем, так как число четырехзначное.

Число можно записать как 1000A + 100B + 10C + D.

Сумма цифр этого числа равна A + B + C + D.

Когда Аня вычла сумму цифр из загаданного числа, она получила:

\[ (1000A + 100B + 10C + D) - (A + B + C + D) = 999A + 99B + 9C \]

Это число делится на 9, потому что 999, 99 и 9 делятся на 9. Значит, результат вычитания всегда делится на 9.

Теперь у нас есть два случая:

1. Если зачеркнутая цифра была частью результата (391):
• Если убрать одну цифру из числа 391, то получившееся число будет состоять из двух цифр.
• Это означает, что первоначальное число после вычитания суммы цифр должно было быть трехзначным.
• Такое возможно, если загаданное число было, например, 1000. Сумма цифр 1. 1000 - 1 = 999. Если зачеркнуть одну цифру из 999, например, среднюю 9, получится 99. Но нам нужно получить 391.
2. Если зачеркнутая цифра была результатом (391):
• Это значит, что 391 — это результат вычитания суммы цифр, но одна цифра из этого числа была зачеркнута.
• Представим, что зачеркнутая цифра была X. Тогда число, которое получила Аня, это 391, а исходное число, которое получилось после вычитания суммы цифр, было либо 39X1, либо 3X91, либо X391.
• Мы знаем, что число, полученное после вычитания суммы цифр, делится на 9.
• Посмотрим на число 391. Сумма его цифр равна 3 + 9 + 1 = 13.
• Если бы мы добавили к 391 какую-то цифру (от 0 до 9) так, чтобы новое число делилось на 9, то это могло бы быть:
• 3910 (сумма 13, не делится на 9)
• 3912 (сумма 15, не делится на 9)
• 3915 (сумма 18, делится на 9!)
• 3918 (сумма 21, не делится на 9)
• 3913 (сумма 16, не делится на 9)
• 3914 (сумма 17, не делится на 9)
• 3916 (сумма 19, не делится на 9)
• 3917 (сумма 20, не делится на 9)
• 3919 (сумма 22, не делится на 9)
• 3191 (сумма 14, не делится на 9)
• 391 (цифра 1 зачеркнута, получили 39)
• 391 (цифра 9 зачеркнута, получили 31)
• 391 (цифра 3 зачеркнута, получили 91)
• Давайте рассуждать иначе. Число, которое получилось после вычитания суммы цифр, делится на 9. Если Аня получила 391, зачеркнув одну цифру, значит, исходное число (до зачеркивания) было четырехзначным (или трехзначным, если первая цифра была зачеркнута).
• Пусть загаданное число было N. Сумма его цифр S. Тогда N - S = K. Мы знаем, что K делится на 9.
• Пусть K — это число, из которого вычеркнули одну цифру, и получили 391.
• Возможные варианты для K (число, из которого вычеркнули цифру):
• 39X1. Если X — зачеркнутая цифра, то K может быть 3901, 3921, 3931, ..., 3991. Проверяем делимость на 9. Сумма цифр 3+9+1 = 13. Чтобы число делилось на 9, сумма цифр должна делиться на 9. Если зачеркнуть цифру X, то новая сумма цифр будет 13 - X. Мы хотим, чтобы 13 - X было кратно 9.
• Если X=4, то 13-4=9. Число 391 (без 4) = 391. Значит, K = 3941. Аня зачеркнула 4.
• Проверим: 3941 - (3+9+4+1) = 3941 - 17 = 3924. Это не 391.
• 3X91. Если X=0, K=3091. Сумма цифр 13. 13-0=13 (не делится на 9).
• X391. Если X=0, K=0391=391. Сумма цифр 13. 13-3=10.
• 391X. Если X=0, K=3910. Сумма цифр 13. 13-0=13.
• Самый вероятный подход: число, которое получилось после вычитания суммы цифр, делится на 9. Если из этого числа вычеркнули одну цифру и получили 391, то исходное число (до вычеркивания) должно быть близко к 391.
• Проверим числа, которые при делении на 9 дают результат, близкий к 391.
• 391 / 9 ≈ 43.44
• Число, делимое на 9, близкое к 391:
• 396 (3+9+6 = 18, делится на 9). Если из 396 вычеркнуть цифру, чтобы получить 391? Невозможно.
• 405 (4+0+5 = 9, делится на 9). Если из 405 вычеркнуть цифру, чтобы получить 391? Невозможно.
• 387 (3+8+7 = 18, делится на 9). Если из 387 вычеркнуть цифру, чтобы получить 391? Невозможно.
• Давайте подойдем так: обозначим число, из которого вычли сумму цифр, как N. А результат, после зачеркивания цифры, как 391.
• Число N делится на 9.
• Если мы зачеркнули цифру X из числа N, и получили 391.
• Это значит, что N состоит из цифр числа 391 и зачеркнутой цифры X.
• Возможные варианты числа N:
• X391
• 3X91
• 39X1
• 391X
• Проверим каждый вариант на делимость на 9.
• Вариант 1: N = X391. Сумма цифр = X+3+9+1 = X+13. Чтобы число делилось на 9, X+13 должно делиться на 9. Возможные значения X:
• Если X=5, то X+13 = 18. Число N = 5391.
• Проверим: 5391 - (5+3+9+1) = 5391 - 18 = 5373. Из 5373 нельзя получить 391, зачеркнув одну цифру.
• Вариант 2: N = 3X91. Сумма цифр = 3+X+9+1 = X+13. Аналогично, X=5. Число N = 3591.
• Проверим: 3591 - (3+5+9+1) = 3591 - 18 = 3573. Из 3573 нельзя получить 391, зачеркнув одну цифру.
• Вариант 3: N = 39X1. Сумма цифр = 3+9+X+1 = X+13. Аналогично, X=5. Число N = 3951.
• Проверим: 3951 - (3+9+5+1) = 3951 - 18 = 3933. Из 3933 нельзя получить 391, зачеркнув одну цифру.
• Вариант 4: N = 391X. Сумма цифр = 3+9+1+X = 13+X. Чтобы число делилось на 9, 13+X должно делиться на 9.
• Если X=5, то 13+5 = 18. Число N = 3915.
• Проверим: 3915 - (3+9+1+5) = 3915 - 18 = 3897. Из 3897 нельзя получить 391, зачеркнув одну цифру.
• Если X=14, это не цифра.
• Кажется, я немного запуталась. Давайте вернемся к свойству делимости на 9.
• N - S = K, где K делится на 9.
• Пусть N — загаданное число. N - (сумма цифр N) = K.
• Из K зачеркнули цифру и получили 391.
• Значит, K — это число, которое состоит из цифр 3, 9, 1 и еще одной цифры (зачеркнутой) X.
• K должно делиться на 9.
• Возможные варианты числа K (состоящего из 3, 9, 1 и X):
• 391X, 39X1, 3X91, X391.
• Проверим сумму цифр каждого числа, чтобы узнать, какое из них делится на 9 (сумма цифр равна 13+X).
• Чтобы 13+X делилось на 9, X должно быть 5 (13+5=18).
• Значит, число K должно содержать цифру 5.
• Возможные варианты для K: 3915, 3951, 3591, 5391.
• Теперь смотрим, какое из этих чисел, после зачеркивания одной цифры, даст 391.
• Если K = 3915. Зачеркиваем 5, получаем 391. Проверим, делится ли 3915 на 9: 3+9+1+5 = 18. 18 делится на 9. Да!
• Значит, K = 3915. Аня зачеркнула цифру 5.
• Теперь нужно проверить, может ли число, из которого вычли сумму цифр, быть 3915.
• Пусть загаданное число было N. N - S = 3915.
• Если N = 3915, то S = 3+9+1+5 = 18. 3915 - 18 = 3897. Это не 3915.
• Если N = 3951, то S = 3+9+5+1 = 18. 3951 - 18 = 3933. Это не 3951.
• Если N = 3591, то S = 3+5+9+1 = 18. 3591 - 18 = 3573. Это не 3591.
• Если N = 5391, то S = 5+3+9+1 = 18. 5391 - 18 = 5373. Это не 5391.

Попробуем другой подход.

Пусть загаданное число N. Сумма цифр S. N - S = K. Из K зачеркнули цифру X, получили 391.

N - S = K

K - X (как значение) = 391 (если X была единицей) или K - 10*X (если X была десятком) и т.д.

Давайте проще. Число 391. Какую цифру можно добавить, чтобы получилось число, которое делится на 9?

391 + 0 = 391 (не делится на 9, сумма 13)

391 + 1 = 392 (не делится на 9, сумма 14)

391 + 2 = 393 (не делится на 9, сумма 15)

391 + 3 = 394 (не делится на 9, сумма 16)

391 + 4 = 395 (не делится на 9, сумма 17)

391 + 5 = 396 (делится на 9, сумма 18)

391 + 6 = 397 (не делится на 9, сумма 19)

391 + 7 = 398 (не делится на 9, сумма 20)

391 + 8 = 399 (не делится на 9, сумма 21)

391 + 9 = 400 (не делится на 9, сумма 4)

Значит, если мы добавим цифру 5, то получим число 396, которое делится на 9. Это значит, что число, из которого вычеркнули цифру, было 396 (если зачеркнули 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, то получили 391).

Но это не так. Это значит, что 396 — это число, из которого зачеркнули какую-то цифру, и получили 391. Это невозможно.

Давайте переформулируем: K — это число, которое при зачеркивании одной цифры дает 391. K делится на 9.

Возможные варианты для K:

• X391 (где X — зачеркнутая цифра). Например, если K = 5391, зачеркнули 5, получили 391. Проверим делимость 5391 на 9. Сумма цифр: 5+3+9+1 = 18. Делится на 9!
• 3X91. Например, если K = 3591, зачеркнули 5, получили 391. Проверим делимость 3591 на 9. Сумма цифр: 3+5+9+1 = 18. Делится на 9!
• 39X1. Например, если K = 3951, зачеркнули 5, получили 391. Проверим делимость 3951 на 9. Сумма цифр: 3+9+5+1 = 18. Делится на 9!
• 391X. Например, если K = 3915, зачеркнули 5, получили 391. Проверим делимость 3915 на 9. Сумма цифр: 3+9+1+5 = 18. Делится на 9!

Итак, у нас есть четыре кандидата для числа K, из которого вычеркнули цифру 5, и которое делится на 9: 5391, 3591, 3951, 3915.

Теперь нужно найти исходное четырехзначное число N такое, что N - S = K, где S - сумма цифр N.

Свойство: N ≡ S (mod 9). То есть N и S дают одинаковый остаток при делении на 9. Следовательно, N - S делится на 9. Это мы уже учли.

Рассмотрим случай K = 3915. Это число делится на 9.

Если K = 3915, значит, из этого числа вычеркнули цифру 5, чтобы получить 391.

Теперь нам нужно найти такое четырехзначное число N, что N - (сумма цифр N) = 3915.

Пусть N = 3915 + S.

Если S = 18 (сумма цифр 3915), то N = 3915 + 18 = 3933. Сумма цифр 3933 = 18. 3933 - 18 = 3915. Это работает!

Но в числе 3933, если зачеркнуть цифру, мы не получим 391. Мы получим 393, 393, 333, 393.

Давайте снова: K — число, из которого вычеркнули цифру X, и получили 391. K делится на 9.

K может быть 3915 (зачеркнули 5, получили 391). 3+9+1+5=18. 3915 делится на 9.

K может быть 3951 (зачеркнули 5, получили 391). 3+9+5+1=18. 3951 делится на 9.

K может быть 3591 (зачеркнули 5, получили 391). 3+5+9+1=18. 3591 делится на 9.

K может быть 5391 (зачеркнули 5, получили 391). 5+3+9+1=18. 5391 делится на 9.

Проверим, какое из этих чисел K могло быть результатом вычитания суммы цифр.

N - S = K

Если K = 3915, значит N = 3915 + S. S — сумма цифр N.

Если N = 3933, S = 18. N - S = 3933 - 18 = 3915. Но если из 3933 зачеркнуть цифру, мы не получим 391. Мы получим 393, 333, 393.

Смотрим на 391. Какие цифры можно добавить, чтобы получилось число, делящееся на 9?

391 + 5 = 396. Сумма 18. 396 делится на 9.

Теперь вопрос: могло ли число 396 быть результатом вычитания суммы цифр?

Если K = 396. Зачеркнули цифру 5, получили 391. Значит, X = 5.

Теперь найдем N такое, что N - S = 396.

Если N = 396, S = 3+9+6=18. N-S = 396-18 = 378. Не подходит.

Если N = 4000 (примерно). S = 4. N-S = 3996.

Если N = 4005, S = 9. N-S = 3996.

Если N = 4014, S = 9. N-S = 4005.

Если N = 4023, S = 9. N-S = 4014.

Если N = 4032, S = 9. N-S = 4023.

Если N = 4041, S = 9. N-S = 4032.

Если N = 4050, S = 9. N-S = 4041.

Нам нужно, чтобы N - S = 396.

Пусть N = 3960. S = 18. N-S = 3942.

Пусть N = 3963. S = 21. N-S = 3942.

Пусть N = 3972. S = 21. N-S = 3951.

Пусть N = 3981. S = 21. N-S = 3960.

Пусть N = 3990. S = 21. N-S = 3969.

Пусть N = 4000. S = 4. N-S = 3996.

Пусть N = 4005. S = 9. N-S = 3996.

Давай попробуем другую комбинацию.

Число 391. Аня зачеркнула одну цифру. Значит, исходное число (до зачеркивания) было четырехзначным. И это число делится на 9.

Пусть зачеркнутая цифра была X.

Число, из которого вычли сумму цифр, может быть:

1. 39X1. Например, 3901, 3921, ..., 3991. Сумма цифр 3+9+1=13. Чтобы делилось на 9, нужно прибавить 5 к сумме. Значит, если X=5, то 3+9+5+1 = 18. Число 3951. Проверим: 3951 - (3+9+5+1) = 3951 - 18 = 3933. Если из 3933 зачеркнуть цифру, то 391 не получится.
2. 3X91. Например, 3091, 3191, ..., 3991. Сумма цифр 13. Если X=5, то 3+5+9+1 = 18. Число 3591. Проверим: 3591 - (3+5+9+1) = 3591 - 18 = 3573. Не подходит.
3. X391. Например, 1391, ..., 9391. Если X=5, то 5+3+9+1 = 18. Число 5391. Проверим: 5391 - (5+3+9+1) = 5391 - 18 = 5373. Не подходит.
4. 391X. Например, 3910, 3912, ..., 3919. Если X=5, то 3+9+1+5 = 18. Число 3915. Проверим: 3915 - (3+9+1+5) = 3915 - 18 = 3897. Не подходит.

Это значит, что число, полученное после вычитания суммы цифр (K), содержит цифру 5, но не является 3915, 3951, 3591, 5391.

Ключевой момент: Число, полученное после вычитания суммы цифр, делится на 9. Если из этого числа вычеркнули цифру и получили 391, то исходное число (до вычеркивания) состояло из цифр 3, 9, 1 и какой-то цифры X, и это число делилось на 9.

Сумма цифр такого числа = 3 + 9 + 1 + X = 13 + X.

Чтобы число делилось на 9, сумма цифр должна делиться на 9. Поэтому 13 + X должно делиться на 9.

Единственное значение X (от 0 до 9), при котором 13 + X делится на 9, это X = 5 (13 + 5 = 18).

Значит, число, из которого вычеркнули цифру, содержало цифру 5. После вычеркивания цифры 5, получилось 391.

Это значит, что исходное число (до зачеркивания) могло быть:

• 5391 (зачеркнули 5, получили 391)
• 3591 (зачеркнули 5, получили 391)
• 3951 (зачеркнули 5, получили 391)
• 3915 (зачеркнули 5, получили 391)

Все эти числа (5391, 3591, 3951, 3915) делятся на 9, так как сумма их цифр равна 18.

Теперь нужно найти исходное четырехзначное число N, такое что N - S = K, где K — одно из этих чисел.

Попробуем предположить, что K = 3915.

Нам нужно найти N, такое что N - S = 3915. Где S — сумма цифр N.

Известно, что N и S имеют одинаковый остаток при делении на 9. А 3915 делится на 9.

Пусть N = 3915 + S.

Если N = 3915, S = 18. N - S = 3915 - 18 = 3897. Не подходит.

Если N = 3933, S = 18. N - S = 3933 - 18 = 3915. Подходит!

Значит, загаданное число N = 3933.

Теперь проверим: из числа 3933 вычли сумму цифр (3+9+3+3 = 18). Получили 3933 - 18 = 3915.

Из числа 3915 зачеркнули одну цифру и получили 391. Какую цифру зачеркнули? Цифру 5.

Итак, зачеркнутая цифра — 5.

Ответ: 5