ВПР. Математика. 6 класс. Вариант 2. Часть 2 Код Маша загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 543. Какую цифру зачеркнула Маша? Решение.

Решение:

• Пусть загаданное четырёхзначное число равно ABCD, где A, B, C, D — его цифры.
• Сумма цифр числа равна A + B + C + D.
• Разность числа и суммы его цифр равна:
• ABCD - (A + B + C + D)
• (1000A + 100B + 10C + D) - (A + B + C + D) = 999A + 99B + 9C
• Число 999A + 99B + 9C делится на 9 (так как сумма его цифр 9+9+9+A+9+B+9+C = 36 + A + B + C, а число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. В данном случае 999A + 99B + 9C = 9 * (111A + 11B + C)).
• Следовательно, любое четырёхзначное число, из которого вычли сумму его цифр, будет делиться на 9.
• Полученное число 543 не делится на 9 (5 + 4 + 3 = 12, 12 не делится на 9). Это означает, что в числе 543 зачёркнута одна из цифр исходной разности, и получившееся число (543) является результатом дальнейших действий.
• Пусть исходная разность была X. После зачеркивания одной цифры получилось 543.
• Рассмотрим варианты:
• Если зачеркнута цифра в разряде сотен: 543. Исходное число могло быть, например, 1543 (зачеркнута 1), 2543 (зачеркнута 2), ..., 9543 (зачеркнута 9).
• Если зачеркнута цифра в разряде десятков: 543. Исходное число могло быть 5143 (зачеркнута 1), 5243 (зачеркнута 2), ..., 5943 (зачеркнута 9).
• Если зачеркнута цифра в разряде единиц: 543. Исходное число могло быть 5430 (зачеркнута 0), 5431 (зачеркнута 1), ..., 5439 (зачеркнута 9).
• Важно помнить, что исходное число делилось на 9.
• Проверим числа, которые при делении на 9 дают остаток, который при вычеркивании одной цифры превращается в 543.
• Пусть исходная разность была X. Сумма цифр X должна делиться на 9.
• Если мы получим число 543, то исходная разность могла быть:
• 1543 (не делится на 9)
• 2543 (не делится на 9)
• ...
• 5143 (не делится на 9)
• 5243 (не делится на 9)
• ...
• 5430 (делится на 9, 5+4+3+0=12 - НЕ ДЕЛИТСЯ. 5430/9 = 603.33...)
• 5431 (не делится на 9)
• ...
• 5439 (делится на 9, 5+4+3+9=21 - НЕ ДЕЛИТСЯ. 5439/9 = 604.33...)
• Рассмотрим, какое число, делящееся на 9, при зачеркивании одной цифры может дать 543.
• Число, делящееся на 9, должно иметь сумму цифр, кратную 9.
• Если зачеркнута цифра 'x', то исходное число имело вид:
• \[ ext{X} = 1000 imes a + 100 imes 5 + 10 imes 4 + 3 \] (зачеркнута 'a') ightarrow \( a543 \)
• \[ ext{X} = 1000 imes 5 + 100 imes a + 10 imes 4 + 3 \] (зачеркнута 'a') ightarrow \( 5a43 \)
• \[ ext{X} = 1000 imes 5 + 100 imes 4 + 10 imes a + 3 \] (зачеркнута 'a') ightarrow \( 54a3 \)
• \[ ext{X} = 1000 imes 5 + 100 imes 4 + 10 imes 3 + a \] (зачеркнута 'a') ightarrow \( 543a \)
• Рассмотрим случай, когда зачеркнута цифра в разряде единиц. Получилось 543. Значит, исходное число было 543X. Сумма цифр: 5+4+3+X = 12+X. Это число должно делиться на 9.
• Если X = 6, то 12+6=18, делится на 9. Исходное число было 5436.
• Проверим:
• Если загаданное число 5436.
• Сумма цифр: 5+4+3+6 = 18.
• Разность: 5436 - 18 = 5418.
• Если из 5418 зачеркнуть цифру 8, получим 541. Не подходит.
• Вернемся к тому, что исходная разность делится на 9.
• Пусть зачеркнутая цифра была 'x'. Получили 543.
• Возможные исходные числа, которые при зачеркивании одной цифры дают 543:
• 1543 (не делится на 9)
• 2543 (не делится на 9)
• 3543 (делится на 9, 3+5+4+3 = 15, нет, 3543/9 = 393.66...)
• 4543 (не делится на 9)
• 5043 (делится на 9, 5+0+4+3 = 12, нет, 5043/9 = 560.33...)
• 5143 (не делится на 9)
• 5243 (не делится на 9)
• 5343 (не делится на 9)
• 5403 (делится на 9, 5+4+0+3=12, нет, 5403/9 = 600.33...)
• 5413 (не делится на 9)
• 5423 (не делится на 9)
• 5430 (не делится на 9)
• 5431 (не делится на 9)
• 5432 (не делится на 9)
• 5433 (не делится на 9)
• 5434 (не делится на 9)
• 5435 (не делится на 9)
• 5436 (делится на 9, 5+4+3+6 = 18). Исходное число 5436.
• 5437 (не делится на 9)
• 5438 (не делится на 9)
• 5439 (не делится на 9)
• Итак, мы нашли одно число, которое делится на 9 и при зачеркивании одной цифры дает 543. Это число 5436, если зачеркнуть цифру 6.
• Если число было 5436, проверим:
• Загаданное число: 5436.
• Сумма цифр: 5+4+3+6 = 18.
• Разность: 5436 - 18 = 5418.
• Если из 5418 зачеркнуть 8, получится 541. Не подходит.
• Рассмотрим числа, в которых 543 является началом.
• Если зачеркнута цифра в разряде десятков, то число было 54X3. Сумма цифр: 5+4+X+3 = 12+X. Чтобы делилось на 9, X=6. Число 5463.
• Проверим 5463:
• Загаданное число: 5463.
• Сумма цифр: 5+4+6+3 = 18.
• Разность: 5463 - 18 = 5445.
• Если из 5445 зачеркнуть 5 (один из), получим 544. Не подходит.
• Если зачеркнута цифра в разряде сотен, то число было 5X43. Сумма цифр: 5+X+4+3 = 12+X. Чтобы делилось на 9, X=6. Число 5643.
• Проверим 5643:
• Загаданное число: 5643.
• Сумма цифр: 5+6+4+3 = 18.
• Разность: 5643 - 18 = 5625.
• Если из 5625 зачеркнуть 6, получится 525. Не подходит.
• Если зачеркнута цифра в разряде тысяч, то число было X543. Сумма цифр: X+5+4+3 = X+12. Чтобы делилось на 9, X=6. Число 6543.
• Проверим 6543:
• Загаданное число: 6543.
• Сумма цифр: 6+5+4+3 = 18.
• Разность: 6543 - 18 = 6525.
• Если из 6525 зачеркнуть 5, получится 625. Не подходит.
• Проблема в том, что мы предполагаем, что 543 - это результат зачеркивания. Но 543 - это число, которое получилось.
• Пусть исходное число N. N - (сумма цифр N) = R. R делится на 9.
• Из R зачеркнули цифру, получили 543.
• Возможные числа R:
• _543: 1543, 2543, 3543, 4543, 5543, 6543, 7543, 8543, 9543.
• 5_43: 5043, 5143, 5243, 5343, 5543, 5643, 5743, 5843, 5943.
• 54_3: 5403, 5413, 5423, 5443, 5453, 5463, 5473, 5483, 5493.
• 543_: 5430, 5431, 5432, 5433, 5434, 5435, 5436, 5437, 5438, 5439.
• Из этих чисел найдем те, которые делятся на 9.
• 3543: 3+5+4+3=15 (не делится)
• 5043: 5+0+4+3=12 (не делится)
• 5403: 5+4+0+3=12 (не делится)
• 5436: 5+4+3+6=18 (делится на 9). R = 5436.
• Если R = 5436, то зачеркнули цифру 6.
• Проверим: Маша загадала число N. N - (сумма цифр N) = 5436.
• Значит, N - (сумма цифр N) делится на 9, что выполняется для 5436.
• Теперь нужно найти такое N, чтобы N - (сумма цифр N) = 5436.
• Пусть N = ABCD.
• 999A + 99B + 9C = 5436.
• Разделим на 9: 111A + 11B + C = 604.
• Если A=5, то 111*5 = 555. 555 + 11B + C = 604. 11B + C = 49.
• Если B=4, то 11*4 = 44. 44 + C = 49. C = 5.
• Итак, A=5, B=4, C=5.
• Загаданное число N = 545D.
• Сумма цифр = 5+4+5+D = 14+D.
• Разность: (5450 + D) - (14 + D) = 5450 - 14 = 5436.
• Это условие выполняется для любого D.
• Значит, загаданное число было 545D, где D — любая цифра.
• Разность равна 5436.
• Из числа 5436 зачеркнули одну цифру и получили 543.
• Зачеркнули цифру 6.
• Таким образом, зачеркнутая цифра — 6.

Ответ: 6