ВПР. Математика. 6 класс. Вариант 6. Часть 2 Код 7 Марина загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 574. Какую цифру зачеркнула Марина? Решение.

Задание 7. Задача про число

Привет! Давай разберёмся с этой задачей вместе.

Суть задачи: Марина загадала четырёхзначное число, вычла из него сумму его цифр, потом зачеркнула одну цифру в получившемся числе и получила 574. Нам нужно узнать, какую цифру она зачеркнула.

Дано:

• Загаданное число — четырёхзначное.
• Получено число после вычитания суммы цифр и зачёркивания одной цифры: 574.

Что нужно найти:

Какую цифру зачеркнула Марина.

Решение:

Шаг 1: Свойство вычитания числа и суммы его цифр.

Любое число при вычитании из него суммы его цифр делится на 9 без остатка. Например, возьмём число 123. Сумма его цифр: 1 + 2 + 3 = 6. Тогда 123 - 6 = 117. Проверим: 117 / 9 = 13. Это работает для любого числа.

Шаг 2: Анализ числа 574.

Число 574 — это результат после того, как Марина вычла сумму цифр и зачеркнула одну цифру. Значит, исходное число (до зачёркивания) могло быть:

• __574, где __ — это зачёркнутая цифра.
• 5__74, где __ — это зачёркнутая цифра.
• 57__4, где __ — это зачёркнутая цифра.
• 574__, где __ — это зачёркнутая цифра.

Шаг 3: Применение свойства делимости на 9.

Число, которое получилось после вычитания суммы цифр (но до зачёркивания), должно делиться на 9. Попробуем подставить зачёркнутые цифры в число 574 и проверить делимость на 9:

• Если зачеркнули цифру 0 (получили 5074, 5704, 5740):
• 5+0+7+4 = 16 (не делится на 9)
• 5+7+0+4 = 16 (не делится на 9)
• 5+7+4+0 = 16 (не делится на 9)
• Если зачеркнули цифру 1 (получили 5174, 5714, 5741):
• 5+1+7+4 = 17 (не делится на 9)
• 5+7+1+4 = 17 (не делится на 9)
• 5+7+4+1 = 17 (не делится на 9)
• Если зачеркнули цифру 2 (получили 5274, 5724, 5742):
• 5+2+7+4 = 18 (делится на 9!). Значит, это возможный вариант.
• 5+7+2+4 = 18 (делится на 9!). Возможный вариант.
• 5+7+4+2 = 18 (делится на 9!). Возможный вариант.
• Если зачеркнули цифру 3 (получили 5374, 5734, 5743):
• 5+3+7+4 = 19 (не делится на 9)
• 5+7+3+4 = 19 (не делится на 9)
• 5+7+4+3 = 19 (не делится на 9)
• Если зачеркнули цифру 4 (получили 5474, 5744, 5744):
• 5+4+7+4 = 20 (не делится на 9)
• 5+7+4+4 = 20 (не делится на 9)
• Если зачеркнули цифру 5 (получили 5754, 5745):
• 5+7+5+4 = 21 (не делится на 9)
• 5+7+4+5 = 21 (не делится на 9)
• Если зачеркнули цифру 6 (получили 5674, 5764, 5746):
• 5+6+7+4 = 22 (не делится на 9)
• 5+7+6+4 = 22 (не делится на 9)
• 5+7+4+6 = 22 (не делится на 9)
• Если зачеркнули цифру 7 (получили 5774, 5747):
• 5+7+7+4 = 23 (не делится на 9)
• 5+7+4+7 = 23 (не делится на 9)
• Если зачеркнули цифру 8 (получили 5874, 5784, 5748):
• 5+8+7+4 = 24 (не делится на 9)
• 5+7+8+4 = 24 (не делится на 9)
• 5+7+4+8 = 24 (не делится на 9)
• Если зачеркнули цифру 9 (получили 5974, 5794, 5749):
• 5+9+7+4 = 25 (не делится на 9)
• 5+7+9+4 = 25 (не делится на 9)
• 5+7+4+9 = 25 (не делится на 9)

Мы видим, что сумма цифр делится на 9 только в случае, если зачёркнутая цифра — 2.

Шаг 4: Проверка.

Допустим, Марина зачеркнула цифру 2. Возможные варианты числа до зачёркивания:

• 5274 (зачеркнули 2): Сумма цифр = 5+2+7+4 = 18. 5274 - 18 = 5256. Это не 574.
• 5724 (зачеркнули 2): Сумма цифр = 5+7+2+4 = 18. 5724 - 18 = 5706. Это не 574.
• 5742 (зачеркнули 2): Сумма цифр = 5+7+4+2 = 18. 5742 - 18 = 5724. Это не 574.

Кажется, что-то не так. Давай переосмыслим.

Важное уточнение: Число 574 — это результат после зачёркивания. Это значит, что исходное число (до зачёркивания) могло быть, например, 574X, X574, 5X74, 57X4, где X — зачёркнутая цифра.

Пересмотрим Шаг 3, учитывая, что 574 — это уже результат после зачёркивания:

Пусть исходное четырёхзначное число было $$ABCD$$. Марина вычислила $$N = 1000A + 100B + 10C + D - (A+B+C+D)$$. Мы знаем, что $$N$$ делится на 9. После этого она зачеркнула одну цифру в $$N$$ и получила 574.

Это означает, что число $$N$$ было таким, что после зачёркивания одной цифры получилось 574.

Возможные варианты числа $$N$$ (до зачёркивания):

• Если зачеркнули последнюю цифру, то $$N$$ могло быть 5740, 5741, 5742, 5743, 5744, 5745, 5746, 5747, 5748, 5749.
• Если зачеркнули предпоследнюю цифру, то $$N$$ могло быть 5704, 5714, 5724, 5734, 5744, 5754, 5764, 5774, 5784, 5794.
• Если зачеркнули вторую цифру, то $$N$$ могло быть 5074, 5174, 5274, 5374, 5474, 5574, 5674, 5774, 5874, 5974.
• Если зачеркнули первую цифру, то $$N$$ могло быть 1574, 2574, 3574, 4574, 5574, 6574, 7574, 8574, 9574.

Теперь проверим, какое из этих чисел делится на 9:

• 5740: 5+7+4+0 = 16 (не делится на 9)
• 5741: 5+7+4+1 = 17 (не делится на 9)
• 5742: 5+7+4+2 = 18 (делится на 9!)
• 5743: 5+7+4+3 = 19 (не делится на 9)
• 5744: 5+7+4+4 = 20 (не делится на 9)
• 5745: 5+7+4+5 = 21 (не делится на 9)
• 5746: 5+7+4+6 = 22 (не делится на 9)
• 5747: 5+7+4+7 = 23 (не делится на 9)
• 5748: 5+7+4+8 = 24 (не делится на 9)
• 5749: 5+7+4+9 = 25 (не делится на 9)

Теперь проверим числа, где зачёркнутая цифра была не последней:

• 5704: 5+7+0+4 = 16 (не делится на 9)
• 5714: 5+7+1+4 = 17 (не делится на 9)
• 5724: 5+7+2+4 = 18 (делится на 9!)
• 5734: 5+7+3+4 = 19 (не делится на 9)
• 5744: 5+7+4+4 = 20 (не делится на 9)
• 5754: 5+7+5+4 = 21 (не делится на 9)
• 5074: 5+0+7+4 = 16 (не делится на 9)
• 5174: 5+1+7+4 = 17 (не делится на 9)
• 5274: 5+2+7+4 = 18 (делится на 9!)
• 5374: 5+3+7+4 = 19 (не делится на 9)
• 5474: 5+4+7+4 = 20 (не делится на 9)
• 1574: 1+5+7+4 = 17 (не делится на 9)
• 2574: 2+5+7+4 = 18 (делится на 9!)
• 3574: 3+5+7+4 = 19 (не делится на 9)

Итак, у нас есть несколько чисел, которые делятся на 9 и при зачёркивании одной цифры дают 574:

Возможные исходные числа ($$N$$):

• 5742 (зачёркнута 2). 5+7+4+2 = 18. 5742 - 18 = 5724. Не подходит.
• 5724 (зачёркнута 2). 5+7+2+4 = 18. 5724 - 18 = 5706. Не подходит.
• 5274 (зачёркнута 2). 5+2+7+4 = 18. 5274 - 18 = 5256. Не подходит.
• 2574 (зачёркнута 2). 2+5+7+4 = 18. 2574 - 18 = 2556. Не подходит.

Что-то снова не сходится. Давайте попробуем такой подход:

Пусть загаданное четырёхзначное число — $$X$$. Сумма цифр числа $$X$$ — $$S$$. Марина вычислила $$N = X - S$$. Мы знаем, что $$N$$ делится на 9. Затем она зачеркнула одну цифру в $$N$$ и получила 574.

Это значит, что $$N$$ было числом, из которого, убрав одну цифру, получили 574. Переберём варианты:

• Если зачеркнули последнюю цифру, то $$N$$ было $$574d$$, где $$d$$ — зачёркнутая цифра. Получаем $$574d$$. Нам нужно, чтобы $$5+7+4+d$$ делилось на 9. $$16+d$$ делится на 9. Единственная цифра $$d$$, для которой это верно, — это $$d=2$$. Тогда $$N = 5742$$.
• Если зачеркнули предпоследнюю цифру, то $$N$$ было $$57d4$$, где $$d$$ — зачёркнутая цифра. Получаем $$57d4$$. Нам нужно, чтобы $$5+7+d+4$$ делилось на 9. $$16+d$$ делится на 9. Единственная цифра $$d$$ — это $$d=2$$. Тогда $$N = 5724$$.
• Если зачеркнули вторую цифру, то $$N$$ было $$5d74$$, где $$d$$ — зачёркнутая цифра. Получаем $$5d74$$. Нам нужно, чтобы $$5+d+7+4$$ делилось на 9. $$16+d$$ делится на 9. Единственная цифра $$d$$ — это $$d=2$$. Тогда $$N = 5274$$.
• Если зачеркнули первую цифру, то $$N$$ было $$d574$$, где $$d$$ — зачёркнутая цифра. Получаем $$d574$$. Нам нужно, чтобы $$d+5+7+4$$ делилось на 9. $$d+16$$ делится на 9. Единственная цифра $$d$$ — это $$d=2$$. Тогда $$N = 2574$$.

Итак, возможные значения $$N$$ (число до зачёркивания) — это 5742, 5724, 5274, 2574. Все они делятся на 9. Теперь надо проверить, какое из них могло получиться из четырёхзначного числа $$X$$ по формуле $$X - S = N$$.

Проверка:

• Если $$N=5742$$, то зачёркнутая цифра — 2. Исходное число до зачёркивания — 5742. Нам нужно найти такое четырёхзначное число $$X$$, что $$X - (\text{сумма цифр } X) = 5742$$.
• Если $$N=5724$$, то зачёркнутая цифра — 2. Исходное число до зачёркивания — 5724. Нам нужно найти такое четырёхзначное число $$X$$, что $$X - (\text{сумма цифр } X) = 5724$$.
• Если $$N=5274$$, то зачёркнутая цифра — 2. Исходное число до зачёркивания — 5274. Нам нужно найти такое четырёхзначное число $$X$$, что $$X - (\text{сумма цифр } X) = 5274$$.
• Если $$N=2574$$, то зачёркнутая цифра — 2. Исходное число до зачёркивания — 2574. Нам нужно найти такое четырёхзначное число $$X$$, что $$X - (\text{сумма цифр } X) = 2574$$.

Давай попробуем обратное: возьмём четырёхзначное число, вычтем сумму его цифр, получим число, у которого зачеркнув одну цифру, получим 574.

Ключевой момент: Если из числа вычесть сумму его цифр, то разность делится на 9. И зачеркнутая цифра находится в числе, которое делится на 9.

Пусть число, полученное после вычитания суммы цифр, было $$Y$$. Мы знаем, что $$Y$$ делится на 9. Марина зачеркнула в $$Y$$ одну цифру и получила 574. Рассмотрим возможные варианты $$Y$$:

1. $$Y = 574d$$, где $$d$$ — зачёркнутая цифра. Сумма цифр $$5+7+4+d$$ должна делиться на 9. $$16+d$$ делится на 9. Единственное значение $$d$$ — это 2. Значит, $$Y = 5742$$.
2. $$Y = 57d4$$, где $$d$$ — зачёркнутая цифра. Сумма цифр $$5+7+d+4$$ должна делиться на 9. $$16+d$$ делится на 9. Единственное значение $$d$$ — это 2. Значит, $$Y = 5724$$.
3. $$Y = 5d74$$, где $$d$$ — зачёркнутая цифра. Сумма цифр $$5+d+7+4$$ должна делиться на 9. $$16+d$$ делится на 9. Единственное значение $$d$$ — это 2. Значит, $$Y = 5274$$.
4. $$Y = d574$$, где $$d$$ — зачёркнутая цифра. Сумма цифр $$d+5+7+4$$ должна делиться на 9. $$d+16$$ делится на 9. Единственное значение $$d$$ — это 2. Значит, $$Y = 2574$$.

Теперь нужно проверить, может ли любое из этих чисел ($$5742, 5724, 5274, 2574$$) быть результатом вычитания суммы цифр из какого-то четырёхзначного числа $$X$$.

Если $$Y = 5742$$ (зачёркнута цифра 2), то $$Y$$ должно делиться на 9. $$5+7+4+2 = 18$$, делится. Теперь проверим, может ли $$X - S_X = 5742$$. Максимальная сумма цифр для четырёхзначного числа, близкого к 5742, например 5742, будет $$5+7+4+2=18$$. Если $$X=5742$$, $$X-S_X = 5742-18 = 5724$$. Это не 5742. Если $$X=5751$$, $$X-S_X = 5751 - (5+7+5+1) = 5751 - 18 = 5733$$. Попробуем число больше, например $$X=5760$$, $$X-S_X = 5760 - (5+7+6+0) = 5760 - 18 = 5742$$. Да! Получилось!

Значит, исходное число было 5760. Сумма цифр: $$5+7+6+0 = 18$$. $$5760 - 18 = 5742$$. В числе 5742 Марина зачеркнула цифру 2, и получилось 574.

Проверим другие варианты:

• Если $$Y = 5724$$ (зачёркнута цифра 2). $$5+7+2+4=18$$, делится на 9. Если $$X=5724$$, $$X-S_X = 5724 - 18 = 5706$$. Не подходит. Попробуем $$X=5733$$: $$5733 - (5+7+3+3) = 5733 - 18 = 5715$$.

Ответ: Зачеркнута цифра 2.

Обоснование:

1. Любое число, из которого вычли сумму его цифр, делится на 9.
2. Число, полученное после зачёркивания (574), при добавлении зачёркнутой цифры должно дать число, делящееся на 9.
3. Перебрав варианты, мы выяснили, что зачёркнутая цифра могла быть только 2, чтобы полученное число делилось на 9.
4. Проверили, что число 5760 ($$X$$) минус сумма его цифр ($$18$$) равно 5742 ($$Y$$). А в числе 5742, если зачеркнуть цифру 2, получится 574.

Ответ: 2