ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 1. Часть 2. Задумали трёхзначное число, которое делится на 45. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 72. Какое число было задумано?

Решение:

Обозначим задуманное трёхзначное число как $$100a + 10b + c$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — цифры, $$a eq 0$$.

• Число делится на 45, значит, оно делится на 5 и на 9.
• Делимость на 5 означает, что последняя цифра $$c$$ равна 0 или 5.
• Делимость на 9 означает, что сумма цифр $$a+b+c$$ делится на 9.
• Число, полученное после перестановки цифр десятков и единиц: $$100a + 10c + b$$.
• Разность между задуманным числом и полученным: $$(100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 72$$.
• Упростим выражение: $$100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 9b - 9c = 9(b-c) = 72$$.
• Разделим обе части на 9: $$b - c = 8$$.

Теперь рассмотрим возможные значения $$c$$:

• Случай 1: $$c = 0$$. Тогда $$b - 0 = 8$$, что даёт $$b = 8$$. Сумма цифр $$a+b+c = a+8+0 = a+8$$. Так как число делится на 9, $$a+8$$ должно делиться на 9. Единственная цифра $$a$$, удовлетворяющая этому условию, — $$a=1$$. Полученное число: 180. Проверим: $$180$$ делится на 45 ($$180/45 = 4$$). Переставим $$b$$ и $$c$$: 108. $$180 - 108 = 72$$. Это условие выполняется.
• Случай 2: $$c = 5$$. Тогда $$b - 5 = 8$$, что даёт $$b = 13$$. Это невозможно, так как $$b$$ — цифра и не может быть больше 9.

Таким образом, единственное возможное задуманное число — 180.

Ответ: 180