ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 1. Часть 2 Код 70008 Задумали трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 54. Какое число было задумано? Решение.

Краткое пояснение:

Для решения задачи будем использовать алгебраический метод. Обозначим неизвестное трехзначное число переменными и составим уравнение на основе данных задачи.

Пошаговое решение:

1. Обозначим задуманное трехзначное число как \( 100a + 10b + c \), где \( a \) — цифра сотен, \( b \) — цифра десятков, \( c \) — цифра единиц.
2. Из условия задачи известно, что число меньше 500, следовательно, \( a < 5 \).
3. Число делится на 15, значит, оно делится на 3 и на 5. Делимость на 5 означает, что \( c = 0 \) или \( c = 5 \). Делимость на 3 означает, что сумма цифр \( a + b + c \) делится на 3.
4. После перестановки цифр десятков и единиц получили число \( 100a + 10c + b \).
5. Из задуманного числа вычли новое число и получили 54: \( (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 54 \).
6. Упростим уравнение: \( 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 54 \) \( 9b - 9c = 54 \) \( 9(b - c) = 54 \) \( b - c = 6 \).
7. Теперь учтем возможные значения \( c \):
   • Если \( c = 0 \), то \( b - 0 = 6 \), следовательно, \( b = 6 \).
   • Если \( c = 5 \), то \( b - 5 = 6 \), следовательно, \( b = 11 \). Но \( b \) — это цифра, поэтому она не может быть больше 9. Этот случай невозможен.
8. Итак, мы нашли \( b = 6 \) и \( c = 0 \).
9. Теперь проверим условие делимости на 3: \( a + b + c \) должно делиться на 3. \( a + 6 + 0 \) должно делиться на 3.
10. Также учтем, что \( a < 5 \) и \( a \) — это цифра трехзначного числа, то есть \( a ≠ 0 \). Возможные значения для \( a \): 1, 2, 3, 4.
11. Проверим делимость \( a+6 \) на 3 для каждого возможного \( a \):
    • Если \( a = 1 \), \( 1 + 6 = 7 \) (не делится на 3).
    • Если \( a = 2 \), \( 2 + 6 = 8 \) (не делится на 3).
    • Если \( a = 3 \), \( 3 + 6 = 9 \) (делится на 3).
    • Если \( a = 4 \), \( 4 + 6 = 10 \) (не делится на 3).
12. Единственное подходящее значение для \( a \) — это 3.
13. Таким образом, \( a = 3 \), \( b = 6 \), \( c = 0 \).
14. Задуманное число: \( 100 · 3 + 10 · 6 + 0 = 300 + 60 = 360 \).
15. Проверим условия: Число 360 меньше 500. 360 делится на 15 (360 / 15 = 24).
16. Переставим цифры десятков и единиц: 306.
17. Вычтем: \( 360 - 306 = 54 \). Все условия выполнены.

Ответ: 360