ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 1. Часть 2 Код 70004 17 Задумали трёхзначное число, которое делится на 28. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 45. Какое число было задумано? Решение.

Решение:

Пусть задуманное трехзначное число будет представлено как \(100a + 10b + c\), где \(a\) — цифра сотен, \(b\) — цифра десятков, \(c\) — цифра единиц.

По условию, это число делится на 28. То есть \(100a + 10b + c = 28k\) для некоторого целого \(k\).

Когда цифры десятков и единиц поменяли местами, получилось число \(100a + 10c + b\).

Из задуманного числа вычли новое число, и получили 45:

• \((100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 45\)
• \(100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 45\)
• \(9b - 9c = 45\)
• \(9(b - c) = 45\)
• \(b - c = 5\)

Мы знаем, что \(b\) и \(c\) — это цифры от 0 до 9. Возможные пары \((b, c)\) такие, что \(b - c = 5\):

• \((5, 0)\)
• \((6, 1)\)
• \(7, 2)\)
• \((8, 3)\)
• \((9, 4)\)

Теперь нам нужно найти трехзначное число \(100a + 10b + c\), которое делится на 28, и \(b-c=5\).

Рассмотрим возможные значения \(a\) (от 1 до 9):

• Если \(a=1\), число \(100 + 10b + c\). Наименьшее возможное число — 150 (при \(b=5, c=0\)), наибольшее — 194 (при \(b=9, c=4\)). Числа, кратные 28 в этом диапазоне: 112 (не подходит, \(b-c e 5\)), 140 (не подходит), 168 (не подходит), 196 (не подходит).
• Если \(a=2\), число \(200 + 10b + c\). Числа, кратные 28: 224 (не подходит), 252 (не подходит), 280 (не подходит).
• Если \(a=3\), число \(300 + 10b + c\). Числа, кратные 28: 308 (не подходит), 336 (не подходит), 364 (не подходит), 392 (не подходит).
• Если \(a=4\), число \(400 + 10b + c\). Числа, кратные 28: 420 (не подходит), 448 (не подходит), 476 (не подходит).
• Если \(a=5\), число \(500 + 10b + c\). Числа, кратные 28: 504 (не подходит), 532 (не подходит), 560 (не подходит), 588 (не подходит).
• Если \(a=6\), число \(600 + 10b + c\). Числа, кратные 28: 616 (не подходит), 644 (не подходит), 672 (не подходит).
• Если \(a=7\), число \(700 + 10b + c\). Числа, кратные 28: 700 (не подходит), 728 (не подходит), 756 (не подходит), 784 (не подходит).
• Если \(a=8\), число \(800 + 10b + c\). Числа, кратные 28: 812 (не подходит), 840 (не подходит), 868 (не подходит), 896 (не подходит).
• Если \(a=9\), число \(900 + 10b + c\). Числа, кратные 28: 924 (не подходит), 952 (не подходит), 980 (не подходит).

Давайте переформулируем: нужно найти число \(X = 100a + 10b + c\), которое делится на 28, и \(b - c = 5\).

Подставляем пары \((b, c)\) в число \(100a + 10b + c\) и проверяем делимость на 28:

• \((b, c) = (5, 0)\): \(100a + 50\). Если \(a=1\), 150 (нет). Если \(a=2\), 250 (нет). Если \(a=3\), 350 (нет). Если \(a=4\), 450 (нет). Если \(a=5\), 550 (нет). Если \(a=6\), 650 (нет). Если \(a=7\), 750 (нет). Если \(a=8\), 850 (нет). Если \(a=9\), 950 (нет).
• \((b, c) = (6, 1)\): \(100a + 60 + 1 = 100a + 61\). Если \(a=1\), 161 (нет). Если \(a=2\), 261 (нет). ... Если \(a=4\), 461 (нет). Если \(a=7\), 761 (нет).
• \((b, c) = (7, 2)\): \(100a + 70 + 2 = 100a + 72\). Если \(a=1\), 172 (нет). Если \(a=2\), 272 (272 = 28 * 9.7... нет). Если \(a=3\), 372 (нет). Если \(a=4\), 472 (нет). Если \(a=5\), 572 (572 = 28 * 20.4... нет). Если \(a=6\), 672 (672 = 28 * 24). Проверим: \(a=6, b=7, c=2\). Задуманное число: 672. Число после перестановки: 627. \(672 - 627 = 45\). Это подходит!

Проверим другие пары для полноты:

• \((b, c) = (8, 3)\): \(100a + 80 + 3 = 100a + 83\). Если \(a=1\), 183 (нет). Если \(a=4\), 483 (нет). Если \(a=9\), 983 (нет).
• \((b, c) = (9, 4)\): \(100a + 90 + 4 = 100a + 94\). Если \(a=1\), 194 (нет). Если \(a=6\), 694 (нет).

Единственное найденное число — 672.

Проверка:

• Задумано число 672. Оно трехзначное.
• Делится ли 672 на 28? \(672 ÷ 28 = 24\). Да, делится.
• Поменяли местами цифры десятков (7) и единиц (2). Получили число 627.
• Вычли: \(672 - 627 = 45\).

Все условия выполнены.

Ответ: 672