ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 1. Часть 2 Код Задумали трёхзначное число, которое делится на 16 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась меньше 200. Какое число было задумано? Решение.

Решение:

Пусть искомое трёхзначное число будет представлено как $$100a + 10b + c$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — цифры числа.

• По условию, число делится на 16.
• Последняя цифра ($$c$$) в 2 раза меньше первой ($$a$$), то есть $$c = a / 2$$. Отсюда следует, что $$a$$ должно быть чётной цифрой, и $$a
  eq 0$$ (так как число трёхзначное). Возможные значения для $$a$$: 2, 4, 6, 8. Соответственно, возможные значения для $$c$$: 1, 2, 3, 4.
• Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет $$100c + 10b + a$$.
• Разность между исходным числом и числом, записанным в обратном порядке, меньше 200: $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) < 200$$.

Упростим выражение для разности:

• $$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99a - 99c = 99(a - c)$$.
• Таким образом, $$99(a - c) < 200$$.

Теперь проверим возможные пары $$(a, c)$$:

• Пара (2, 1): $$a = 2, c = 1$$. Разность: $$99(2 - 1) = 99 < 200$$. Число имеет вид $$2b1$$. Искомое число делится на 16. Проверим числа вида $$2b1$$: 201, 211, 221, 231, 241, 251, 261, 271, 281, 291. Делим на 16: $$201/16
  eq ц., 211/16
  eq ц., \textbf{224/16 = 14}$$. Но последняя цифра 4, а первая 2. Не подходит. Ищем число вида $$2b1$$, делящееся на 16. Ближайшее кратное 16 к 200 — это $$16 \times 12 = 192$$. Следующее $$16 \times 13 = 208$$. Числа вида $$2b1$$ — это числа от 201 до 291. Нужно найти кратное 16 в этом диапазоне. $$208$$ (цифры 2, 0, 8, $$c=8, a=2$$. $$c=a/2$$ не выполняется). $$224$$ (цифры 2, 2, 4. $$c=4, a=2$$. $$c=a/2$$ не выполняется). Пересмотрим условие: $$c=a/2$$. Для $$a=2, c=1$$. Число $$2b1$$. Проверим кратные 16, начинающиеся на 2 и заканчивающиеся на 1. Таких нет. Последняя цифра кратного 16 может быть 0, 2, 4, 6, 8. Значит, первая цифра $$a$$ должна быть такой, чтобы $$a/2$$ была последней цифрой. Значит $$c$$ - последняя цифра. $$a = 2c$$. Возможные пары $$(a, c)$$ такие, что $$a$$ - первая цифра (1-9), $$c$$ - последняя (0-9), и $$a = 2c$$: $$c=1 \rightarrow a=2$$. Число $$2b1$$. Проверяем, делится ли $$2b1$$ на 16. $$201, 211, 221, 231, 241, 251, 261, 271, 281, 291$$. Ни одно не делится на 16. $$c=2 \rightarrow a=4$$. Число $$4b2$$. Проверяем, делится ли $$4b2$$ на 16. $$416, 432, 448, 464, 480$$. У нас число $$4b2$$. Значит, последняя цифра 2. Проверим кратные 16, оканчивающиеся на 2: $$16 \times 2 = 32$$, $$16 \times 7 = 112$$, $$16 \times 12 = 192$$, $$16 \times 17 = 272$$, $$16 \times 22 = 352$$, $$16 \times 27 = 432$$. Найдено число 432. $$a=4, b=3, c=2$$. Проверяем условия: $$a=4$$, $$c=2$$. $$c=a/2$$ (2=4/2) - выполняется. Число делится на 16 ($$432/16 = 27$$) - выполняется. Разность: $$99(a-c) = 99(4-2) = 99 \times 2 = 198$$. $$198 < 200$$ - выполняется. Проверим другие пары для полноты.
• Пара (4, 2): $$a = 4, c = 2$$. Разность: $$99(4 - 2) = 198 < 200$$. Искомое число $$4b2$$. Число $$432$$ делится на 16 ($$432/16=27$$). Все условия выполнены.
• Пара (6, 3): $$a = 6, c = 3$$. Разность: $$99(6 - 3) = 297$$. $$297
  less 200$$. Не подходит.
• Пара (8, 4): $$a = 8, c = 4$$. Разность: $$99(8 - 4) = 396$$. $$396
  less 200$$. Не подходит.

Единственное подходящее число — 432.

Проверка:

• Число 432 трёхзначное.
• Делится на 16: $$432 / 16 = 27$$.
• Последняя цифра (2) в 2 раза меньше первой (4).
• Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке: 234.
• Разность: $$432 - 234 = 198$$.
• $$198 < 200$$.

Все условия выполнены.

Ответ: 432