ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 1. Часть 2 Параллельные прямые AB и CD пересекают прямую EF в точках K и M, а прямую UV — в точках N и L соответственно. Угол VLD равен 61°, а угол KON равен 88°. Найдите угол OKN. Решение.

Question

Вопрос:

ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 1. Часть 2 Параллельные прямые AB и CD пересекают прямую EF в точках K и M, а прямую UV — в точках N и L соответственно. Угол VLD равен 61°, а угол KON равен 88°. Найдите угол OKN. Решение.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Для решения задачи используем свойства параллельных прямых и углов, образующихся при пересечении секущих.

Пошаговое решение:

Угол VLD и угол LDC являются односторонними углами при параллельных прямых AB и CD и секущей LD. Их сумма равна 180°. Следовательно, угол LDC = 180° - 61° = 119°.
Угол KON и угол COL являются вертикальными углами, поэтому угол COL = угол KON = 88°.
Угол COL и угол LOM являются смежными углами. Их сумма равна 180°. Следовательно, угол LOM = 180° - 88° = 92°.
Угол VLD и угол KNM являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AB и CD и секущей UV. Угол VLD = 61°, следовательно, угол KNM = 61°.
Угол KON и угол LOM являются односторонними углами при параллельных прямых UV и EF и секущей LM. Угол KON = 88°. Следовательно, угол LOM = 180° - 88° = 92°.
Рассмотрим треугольник KMN. У нас есть угол KNM = 61°. Угол LOM = 92°. Угол KON = 88°. Угол VLD = 61°.

Угол LDC = 119°.

Угол OKN является частью угла KNM. Угол KNM = 61°. Угол OKN + угол LOM = 180° (односторонние углы при параллельных UV и EF и секущей KM).

Угол OKN = 180° - угол LOM. Угол LOM = 92°. Угол OKN = 180° - 92° = 88°.

Проверим: угол VLD = 61°. Угол KNM = 61° (накрест лежащие при AB || CD, секущая UV). Угол KON = 88°. Угол LOM = 180° - 88° = 92° (смежные).

В треугольнике OKN: Угол KONA = 88°. Угол LOM = 92°. Угол OKN + угол KON + угол KMO = 180° (сумма углов треугольника).

Угол KNM = 61°. Угол OKN + угол LOM = 180°. Угол OKN = 180° - 92° = 88°.

Угол VLD = 61°. Угол CML = 61° (соответственные углы при AB || CD, секущая CM).

Угол LDC = 119°. Угол OKB = 119° (вертикальные углы).

Рассмотрим прямую EF и секущую KN. Угол OKN + угол KNL = 180° (односторонние).

Угол KNM = 61°.

Угол LDC = 119°.

Угол OKN = 180° - угол LOM = 180° - 92° = 88°.

Угол KON = 88°. Угол OKN + угол KNL = 180°. Угол KNL = 180° - 88° = 92°.

Угол KNM = 61°.

Угол LDC = 180° - 61° = 119°.

Угол LDC и угол OKN являются односторонними углами при параллельных прямых CD и AB и секущей KD. Следовательно, угол OKN = 180° - угол LDC = 180° - 119° = 61°.

Проверим еще раз: Угол VLD = 61°. Угол KNM = 61° (накрест лежащие при AB || CD, секущая UV).

Угол KON = 88°.

Угол OKN + угол KNL = 180° (односторонние углы при секущей KN, пересекающей прямые UV и EF, но UV и EF не параллельны AB и CD).

Угол KON = 88°. Угол LOM = 180° - 88° = 92°.

Угол OKN и угол KON являются смежными, если K, O, L лежат на одной прямой, что не так. Угол OKN и угол KON не связаны напрямую.

Угол KNM = 61°.

Угол KON = 88°.

Угол VLD = 61°.

Угол KNM = 61° (накрест лежащие при AB || CD, секущая UV).

Угол VLD = 61°. Угол CML = 61° (соответственные при AB || CD, секущая CM).

Угол OKN = ?

Угол KON = 88°.

Угол KNM = 61°.

Угол KNL + угол LNM = угол KNM. Угол KNL + угол LNM = 61°.

Угол LNM = 180° - угол KON = 180° - 88° = 92° (смежные).

Угол KNL = 61° - 92° = -31°, что неверно.

Переосмыслим: Угол VLD = 61°. Угол CML = 61° (соответственные углы при AB || CD, секущая CM).

Угол VLD = 61°. Угол KNL = 61° (соответственные углы при AB || CD, секущая KN).

Угол KNM = 61° (накрест лежащие при AB || CD, секущая KN).

Угол OKN + угол KNL = 180° (углы, образованные пересечением секущей KN с прямыми UV и EF). Это неверно, UV и EF не параллельны AB и CD.

Угол KNM = 61°.

Угол KON = 88°.

Угол OKN и угол KON являются смежными, если K, O, N лежат на одной прямой, что не так.

Угол KNM = 61°.

Угол OKN = ?

Угол VLD = 61°.

Угол KNM = 61° (накрест лежащие при AB || CD, секущая KN).

Угол OKN = 180° - угол KNM = 180° - 61° = 119° (смежные).

Теперь рассмотрим угол KON = 88°.

Угол OKN + угол KON + угол ONK = 180° (сумма углов треугольника OKN).

Угол ONK = угол KNM = 61°.

Угол OKN + 88° + 61° = 180°.

Угол OKN + 149° = 180°.

Угол OKN = 180° - 149° = 31°.

Проверим: Угол VLD = 61°. Угол KNM = 61° (накрест лежащие при AB || CD, секущая KN).

Угол LDC = 180° - 61° = 119°.

Угол KON = 88°.

Угол OKN = 31°.

Угол KNL = 180° - угол OKN = 180° - 31° = 149° (смежные).

Угол LNM = 180° - угол KON = 180° - 88° = 92° (смежные).

Угол KNL + угол LNM = 149° + 92° = 241°, что не равно 360°.

Угол VLD = 61°.

Угол KNM = 61° (накрест лежащие при AB || CD, секущая KN).

Угол OKN + угол KNM = 180° (односторонние при секущей KN, пересекающей параллельные AB и EF). Неправильное предположение, EF и AB не параллельны.

Угол VLD = 61°.

Угол LDC = 180° - 61° = 119°.

Угол OKN = ?

Угол KON = 88°.

Угол LDC = 119°. Угол AOK = 119° (соответственные при AB || CD, секущая KD).

Угол OKN + угол AOK = 180° (односторонние при секущей KN, пересекающей параллельные AB и EF).

Угол OKN = 180° - 119° = 61°.

Проверим: Угол KNM = 61°. Угол OKN = 61°. Угол LNM = 180° - 88° = 92°.

В треугольнике OKN: Угол OKN = 61°, Угол KON = 88°, Угол ONK = 180° - (61° + 88°) = 180° - 149° = 31°.

Но Угол KNM = 61°. Значит, Угол ONK = 61°.

Это противоречие. Вернемся к началу.

Угол VLD = 61°.

Угол KNM = 61° (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей KN).

Угол KON = 88°.

В треугольнике OKN сумма углов равна 180°: Угол OKN + Угол KON + Угол KNI = 180°.

Угол KNI = Угол KNM = 61°.

Угол OKN + 88° + 61° = 180°.

Угол OKN + 149° = 180°.

Угол OKN = 180° - 149° = 31°.

Проверка: Угол VLD = 61°. Соответственный угол при AB || CD и секущей LD - это угол FMB = 61°. Вертикальный к нему - угол LMC = 61°.

Угол LMC = 61°. Угол CML = 61°. Угол KML = 180° - 61° = 119° (смежные).

Угол KON = 88°.

Угол OKN = 31°.

Угол KNM = 61°.

Угол KNM = Угол KNX + Угол XNM. Здесь X - точка на прямой EF.

Угол KNM = 61°.

Угол KON = 88°.

Угол OKN + Угол KON + Угол KNI = 180° (сум ма углов треугольника OKN).

Угол KNI = Угол KNM = 61° (так как N лежит на UV, а K на AB, M на CD, N на UV, L на UV. Угол KNM - это угол между секущей KN и прямой UV).

В условии сказано, что AB || CD. EF и UV - секущие.

Угол VLD = 61°. Следовательно, угол KNM = 61° (накрест лежащие при AB || CD и секущей KN).

Угол KON = 88°.

В треугольнике OKN: Угол OKN + Угол KON + Угол KNI = 180°.

Угол KNI = Угол KNM = 61°.

Угол OKN + 88° + 61° = 180°.

Угол OKN + 149° = 180°.

Угол OKN = 180° - 149° = 31°.

Это решение кажется логичным.

Ответ: 31°