Контрольные задания > ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 10. Часть 2 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины В, равна 13. Найдите длину стороны ВС. Решение.
Вопрос:

ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 10. Часть 2 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины В, равна 13. Найдите длину стороны ВС. Решение.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Она немного хитрая, но мы справимся!

Дано:

  • Треугольник ABC — равнобедренный.
  • Основание — BC.
  • Угол A = 120°.
  • Высота BH = 13 (где H — точка на AC).

Найти: Длину стороны BC.

Решение:

  1. Вспомним свойства равнобедренного треугольника: Углы при основании равны. В нашем случае, углы B и C при основании BC равны.
  2. Найдем углы B и C: Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, угол B + угол C = 180° - угол A = 180° - 120° = 60°. Поскольку углы B и C равны, то каждый из них равен 60° / 2 = 30°.
  3. Рассмотрим треугольник ABH: Мы знаем, что BH — высота, значит, угол BHA = 90°. Мы также знаем, что угол B = 30° (так как равнобедренный треугольник, угол при основании BC).
  4. Используем тригонометрию: В прямоугольном треугольнике ABH, BH — это катет, противолежащий углу A (угол BAC, а точнее угол BAH). Угол ABH = 30°. Нам известна высота BH = 13. Мы ищем сторону AB (гипотенузу в треугольнике ABH).
  5. Формула синуса:\[ \sin(\angle ABH) = \frac{BH}{AB} \]\[ \sin(30°) = \frac{13}{AB} \]\[ \frac{1}{2} = \frac{13}{AB} \]
  6. Вычислим AB:\[ AB = 13 \times 2 = 26 \]
  7. Теперь рассмотрим треугольник BHC: Угол BHC = 90°. Угол C = 30°. BH = 13. Мы ищем сторону BC (гипотенузу в треугольнике BHC).
  8. Формула синуса:\[ \sin(\angle C) = \frac{BH}{BC} \]\[ \sin(30°) = \frac{13}{BC} \]\[ \frac{1}{2} = \frac{13}{BC} \]
  9. Вычислим BC:\[ BC = 13 \times 2 = 26 \]

Важное уточнение! Мы нашли высоту BH, которая проведена из вершины B. В условии сказано, что высота проведена из вершины B, и она равна 13. В равнобедренном треугольнике ABC с углом при вершине 120°, основание BC является самой короткой стороной. Высота, проведенная из вершины B, падает на сторону AC. Давайте перечитаем условие внимательно: "Высота треугольника, проведённая из вершины В, равна 13". Это означает, что у нас есть треугольник ABC, угол A = 120°. Высота из B (на сторону AC) = 13. Нам нужно найти BC.

Давайте переделаем решение:

  1. Углы при основании: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC, углы B и C равны. Угол A = 120°. Угол B + Угол C = 180° - 120° = 60°. Значит, Угол B = Угол C = 30°.
  2. Рассмотрим треугольник ABH (где BH — высота, H на AC). Угол BHA = 90°, Угол BAH = 120°/2 = 60° (в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и биссектрисой). Но в условии сказано, что высота проведена из вершины B. Это значит, что H лежит на стороне AC.
  3. Угол A = 120°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, Угол B = Угол C = (180° - 120°) / 2 = 30°.
  4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC (где BH — высота, H лежит на AC). Угол BHC = 90°. Угол C = 30°. BH = 13.
  5. Найдем сторону BC (гипотенузу в треугольнике BHC). Используем синус угла C:
\[ \sin(C) = \frac{BH}{BC} \]\[ \sin(30°) = \frac{13}{BC} \]\[ \frac{1}{2} = \frac{13}{BC} \]\[ BC = 13 \times 2 = 26 \]
  • Теперь найдем сторону AB. В равнобедренном треугольнике ABC, AB = AC. Но это не так, основание — BC, значит AB = AC. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC, AB = AC. Угол A = 120°. Углы B и C равны 30°. Высота BH = 13. H лежит на AC.
  • Рассмотрим треугольник ABH (где BH — высота, H на AC). Угол BHA = 90°. Угол A = 120°, но это внешний угол для треугольника ABH, если H находится между A и C. Если H лежит на продолжении AC.
  • Перечитаем еще раз! "В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины В, равна 13." Это значит, что высота падает на сторону AC.
  • Углы: Угол A = 120°. Угол B = Угол C = 30°.
  • Рассмотрим треугольник ABH (где BH — высота, H на AC). Угол BHA = 90°. Угол BAH = 180° - 120° = 60° (смежный угол).
  • В прямоугольном треугольнике ABH: Угол BAH = 60°, Угол ABH = 30°, BH = 13.
  • Найдем AB:\[ \sin(60°) = \frac{BH}{AB} \]\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{13}{AB} \]\[ AB = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
  • Найдем сторону AC. В треугольнике ABC, AB = AC (так как BC - основание).
  • Рассмотрим треугольник BHC (где BH — высота, H на AC). Угол BHC = 90°. Угол C = 30°. BH = 13.
  • Найдем BC:\[ \sin(30°) = \frac{BH}{BC} \]\[ \frac{1}{2} = \frac{13}{BC} \]\[ BC = 26 \]

    • Подождите, кажется, я запуталась. Давайте попробуем по-другому, используя теорему косинусов или синусов для всего треугольника.

    1. Углы: Угол A = 120°, Угол B = Угол C = 30°.
    2. Высота BH = 13. H лежит на AC.
    3. Треугольник BHC: прямоугольный (угол H = 90°), угол C = 30°, BH = 13.
    4. Найдем BC:\[ \sin(C) = \frac{BH}{BC} \]\[ \sin(30°) = \frac{13}{BC} \]\[ \frac{1}{2} = \frac{13}{BC} \]\[ BC = 26 \]
    5. Треугольник ABH: прямоугольный (угол H = 90°). Угол A = 120°, но H лежит на AC. Это значит, что точка H лежит вне отрезка AC, на продолжении стороны AC, т.к. угол A тупой.
    6. Рассмотрим угол, смежный с углом A: 180° - 120° = 60°. Пусть точка H лежит на продолжении AC за точкой A. Тогда в прямоугольном треугольнике BHС: Угол C = 30°, BH = 13.
    7. Найдем BC:\[ \sin(C) = \frac{BH}{BC} \]\[ \sin(30°) = \frac{13}{BC} \]\[ \frac{1}{2} = \frac{13}{BC} \]\[ BC = 26 \]
    8. Теперь рассмотрим треугольник ABH. Угол BHA = 90°. Угол HAB = 180° - 120° = 60°. BH = 13.
    9. Найдем AB:\[ \tan(60°) = \frac{BH}{AH} \]\[ \sqrt{3} = \frac{13}{AH} \]\[ AH = \frac{13}{\sqrt{3}} \]
    10. Теперь найдем AC. В равнобедренном треугольнике ABC, AB = AC. Но основание — BC. Значит AB = AC.
    11. Сторона AC = AH + HC.
    12. Найдем HC:\[ \tan(30°) = \frac{BH}{HC} \]\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{13}{HC} \]\[ HC = 13 \sqrt{3} \]
    13. AC = AH + HC = $$\frac{13}{\sqrt{3}} + 13\sqrt{3}$$
    14. AC = $$\frac{13\sqrt{3}}{3} + \frac{39\sqrt{3}}{3} = \frac{52\sqrt{3}}{3}$$
    15. AB = AC = $$\frac{52\sqrt{3}}{3}$$
    16. Проверим теорему косинусов для BC:\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2  AB  AC \cos(A) \]\[ BC^2 = 2  (\frac{52\sqrt{3}}{3})^2 - 2  (\frac{52\sqrt{3}}{3})^2 \cos(120°) \]\[ BC^2 = 2  \frac{2704  3}{9} - 2  \frac{2704  3}{9} \times (-\frac{1}{2}) \]\[ BC^2 = 2  \frac{2704}{3} + \frac{2704}{3} = 3  \frac{2704}{3} = 2704 \]
    17. BC = $$\sqrt{2704} = 52$$

    Что-то не сходится. Давайте еще раз.

    1. Углы: Угол A = 120°, Угол B = Угол C = 30°.
    2. Высота BH = 13. H лежит на AC.
    3. Треугольник ABH (прямоугольный, угол H = 90°). Угол BAH = 180° - 120° = 60° (смежный). BH = 13.
    4. Найдем AH:\[ \tan(60°) = \frac{BH}{AH} \]\[ \sqrt{3} = \frac{13}{AH} \]\[ AH = \frac{13}{\sqrt{3}} \]
    5. Найдем AB:\[ \sin(60°) = \frac{BH}{AB} \]\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{13}{AB} \]\[ AB = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
    6. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то AB = AC.
    7. AC = AH + HC.
    8. Треугольник BHC (прямоугольный, угол H = 90°). Угол C = 30°. BH = 13.
    9. Найдем HC:\[ \tan(30°) = \frac{BH}{HC} \]\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{13}{HC} \]\[ HC = 13\sqrt{3} \]
    10. AC = AH + HC = $$\frac{13}{\sqrt{3}} + 13\sqrt{3} = \frac{13}{\sqrt{3}} + \frac{13  3}{\sqrt{3}} = \frac{13 + 39}{\sqrt{3}} = \frac{52}{\sqrt{3}}$$
    11. Итак, AB = AC = $$\frac{52}{\sqrt{3}}$$
    12. Теперь найдем BC, используя теорему косинусов:\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2  AB  AC \cos(A) \]\[ BC^2 = (\frac{52}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{52}{\sqrt{3}})^2 - 2  (\frac{52}{\sqrt{3}})  (\frac{52}{\sqrt{3}}) \cos(120°) \]\[ BC^2 = \frac{2704}{3} + \frac{2704}{3} - 2  \frac{2704}{3}  (-\frac{1}{2}) \]\[ BC^2 = \frac{2704}{3} + \frac{2704}{3} + \frac{2704}{3} = 3  \frac{2704}{3} = 2704 \]
    13. BC = $$\sqrt{2704} = 52$$

    Вот теперь все сходится!

    Ответ: 52

    ГДЗ по фото 📸
    Подать жалобу Правообладателю