ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 2. Часть 2. Задумали трёхзначное число, которое делится на 22 и последняя цифра которого в 3 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано?

Пошаговое решение:

1. Обозначим задуманное трёхзначное число как \( \overline{abc} \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — цифры. По условию, \( a \) — первая цифра, \( b \) — вторая, \( c \) — третья.
2. Условие делимости на 22 означает, что число делится и на 2, и на 11.
• Делимость на 2: последняя цифра \( c \) должна быть чётной (0, 2, 4, 6, 8).
• Делимость на 11: знакопеременная сумма цифр \( a - b + c \) должна делиться на 11.
3. По условию, последняя цифра \( c \) в 3 раза меньше первой \( a \). Таким образом, \( a = 3c \).
4. Подставим \( a = 3c \) в условие делимости на 11: \( 3c - b + c = 4c - b \) должно делиться на 11.
5. Рассмотрим возможные значения \( c \) (чётные цифры) и соответствующие значения \( a \):
   • Если \( c = 0 \), то \( a = 3 imes 0 = 0 \). Но \( a \) — первая цифра трёхзначного числа, поэтому \( a eq 0 \). Этот случай исключается.
   • Если \( c = 2 \), то \( a = 3 imes 2 = 6 \). Условие делимости на 11: \( 4 imes 2 - b = 8 - b \) должно делиться на 11. Возможные значения \( b \) (цифра от 0 до 9): \( 8 - b = 0 \) => \( b = 8 \). Число: \( 682 \). Число, записанное цифрами в обратном порядке: \( 286 \). Разность: \( 682 - 286 = 396 \). \( 396 > 300 \). Это подходит.
   • Если \( c = 4 \), то \( a = 3 imes 4 = 12 \). \( a \) — цифра, она не может быть больше 9. Этот случай исключается.
   • Аналогично исключаются случаи \( c = 6 \) и \( c = 8 \), так как \( a \) будет больше 9.
6. Единственное число, удовлетворяющее всем условиям, — 682.

Ответ: 682