ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 2. Часть 2 17 Задумали чётное трёхзначное число, которое делится на 21 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 594. Какое число было задумано?

Решение:

Обозначим задуманное трёхзначное число как $$abc$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — цифры. По условию:

• Число чётное, значит, $$c \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$$.
• Последняя цифра не равна нулю, значит, $$c \in \{2, 4, 6, 8\}$$.
• Число делится на 21, значит, оно делится на 3 и на 7.
• Число трёхзначное, значит, $$a
  e 0$$.

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет $$cba$$.

По условию задачи:

$$abc - cba = 594$$

Разложим числа по разрядам:

$$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 594$$

$$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 594$$

$$99a - 99c = 594$$

Разделим обе части на 99:

$$a - c = 6$$

Теперь учтём условия для цифр $$a$$ и $$c$$:

• $$a \in \{1, 2, ..., 9\}$$
• $$c \in \{2, 4, 6, 8\}$$

Подберём возможные пары $$(a, c)$$, удовлетворяющие уравнению $$a = c + 6$$:

• Если $$c = 2$$, то $$a = 2 + 6 = 8$$. Получаем число $$8b2$$.
• Если $$c = 4$$, то $$a = 4 + 6 = 10$$. Не подходит, так как $$a$$ — цифра.

Единственная возможная пара цифр — $$a = 8$$ и $$c = 2$$.

Теперь нам нужно найти цифру $$b$$. Исходное число $$8b2$$ должно делиться на 21, следовательно, оно должно делиться на 3 и на 7.

Признак делимости на 3: Сумма цифр числа делится на 3.

$$8 + b + 2 = 10 + b$$ должно делиться на 3.

Возможные значения $$b$$:

• Если $$b = 2$$, то $$10 + 2 = 12$$ (делится на 3). Число: 822.
• Если $$b = 5$$, то $$10 + 5 = 15$$ (делится на 3). Число: 852.
• Если $$b = 8$$, то $$10 + 8 = 18$$ (делится на 3). Число: 882.

Проверим делимость полученных чисел на 7:

• $$822 : 7 = 117.42...$$ (не делится)
• $$852 : 7 = 121.71...$$ (не делится)
• $$882 : 7 = 126$$ (делится)

Число 882 делится на 3 (8+8+2=18) и на 7 (882 = 7 * 126). Значит, оно делится и на 21.

Проверим условие $$a - c = 6$$: $$8 - 2 = 6$$ (верно).

Проверим условие $$abc - cba = 594$$:

$$882 - 288 = 594$$ (верно).

Ответ: 882