ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 2. Часть 2 Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля а 28 км/ч меньше скорости второго. Найдите скорость второго автомобиля, если время, которое он затратил на дорогу из пункта А в пункт В, в полтора раза меньше времени, которое затратил первый автомобиль на эту же дорогу. Решение.

Решение:

1. Обозначим переменные:
   • Пусть $$v_2$$ — скорость второго автомобиля (км/ч).
   • Тогда скорость первого автомобиля $$v_1 = v_2 - 28$$ (км/ч).
   • Пусть $$t_1$$ — время первого автомобиля (ч).
   • Тогда время второго автомобиля $$t_2 = \frac{3}{2}t_1$$ (ч).
2. Расстояние: Расстояние между пунктами А и В одинаково для обоих автомобилей. Обозначим его как $$S$$.
3. Уравнения движения:
   • Для первого автомобиля: $$S = v_1 ∙ t_1 = (v_2 - 28) ∙ t_1$$
   • Для второго автомобиля: $$S = v_2 ∙ t_2 = v_2 ∙ (\frac{3}{2}t_1)$$
4. Приравниваем расстояния:

   \[ (v_2 - 28) ∙ t_1 = v_2 ∙ (\frac{3}{2}t_1) \]

5. Сокращаем $$t_1$$ (так как время не равно нулю):

   \[ v_2 - 28 = \frac{3}{2}v_2 \]

6. Решаем уравнение относительно $$v_2$$:
   • Умножаем обе части на 2: $$2(v_2 - 28) = 3v_2$$
   • Раскрываем скобки: $$2v_2 - 56 = 3v_2$$
   • Переносим члены с $$v_2$$ в одну сторону: $$-56 = 3v_2 - 2v_2$$
   • Получаем: $$-56 = v_2$$
7. Анализ результата: Скорость не может быть отрицательной. Проверим условие, где время второго автомобиля в полтора раза меньше времени первого. Это означает, что второй автомобиль едет быстрее.
8. Корректировка условия: Если время второго автомобиля ($$t_2$$) в полтора раза меньше времени первого ($$t_1$$), то $$t_2 = \frac{t_1}{1.5} = \frac{2}{3}t_1$$.
9. Переписываем уравнения с корректным временем:
   • $$S = (v_2 - 28) ∙ t_1$$
   • $$S = v_2 ∙ (\frac{2}{3}t_1)$$
10. Приравниваем расстояния:

    \[ (v_2 - 28) ∙ t_1 = v_2 ∙ (\frac{2}{3}t_1) \]

11. Сокращаем $$t_1$$:

    \[ v_2 - 28 = \frac{2}{3}v_2 \]

12. Решаем уравнение относительно $$v_2$$:
    • Умножаем обе части на 3: $$3(v_2 - 28) = 2v_2$$
    • Раскрываем скобки: $$3v_2 - 84 = 2v_2$$
    • Переносим члены с $$v_2$$ в одну сторону: $$3v_2 - 2v_2 = 84$$
    • Получаем: $$v_2 = 84$$
13. Проверка:
    • Скорость второго автомобиля $$v_2 = 84$$ км/ч.
    • Скорость первого автомобиля $$v_1 = 84 - 28 = 56$$ км/ч.
    • Пусть время первого автомобиля $$t_1 = 3$$ часа. Тогда расстояние $$S = 56 ∙ 3 = 168$$ км.
    • Время второго автомобиля $$t_2 = \frac{168}{84} = 2$$ часа.
    • Проверяем условие: $$t_2 = \frac{2}{3}t_1$$. $$2 = \frac{2}{3} ∙ 3$$, что верно.

Ответ: 84 км/ч