ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 40040 Углы треугольника АВС относятся так: ∠A: ∠B: ∠C = 1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 20. Найдите длину отрезка МС.

Решение:

Для начала найдем углы треугольника ABC. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Пусть углы будут равны $$x$$, $$2x$$ и $$3x$$. Тогда:

\[ x + 2x + 3x = 180^\circ \]

Сложим углы:

\[ 6x = 180^\circ \]

Найдем $$x$$:

\[ x = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ \]

Теперь найдем сами углы:

• \[ \angle A = x = 30^\circ \]
• \[ \angle B = 2x = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \]
• \[ \angle C = 3x = 3 \times 30^\circ = 90^\circ \]

Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом C.

BM — биссектриса угла B. Биссектриса делит угол пополам. Угол B равен $$60^\circ$$, значит, биссектриса делит его на два угла по $$30^\circ$$:

\[ \angle ABM = \angle CBM = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \]

Рассмотрим треугольник CBM. Мы знаем, что \[ \angle C = 90^\circ \] и \[ \angle CBM = 30^\circ \]. Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$, поэтому:

\[ \angle BCM + \angle CBM + \angle BMC = 180^\circ \]

\[ 90^\circ + 30^\circ + \angle BMC = 180^\circ \]

\[ 120^\circ + \angle BMC = 180^\circ \]

\[ \angle BMC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]

Теперь у нас есть треугольник CBM со стороной BM = 20 и углами $$90^\circ$$, $$30^\circ$$, $$60^\circ$$. Это египетский треугольник (или треугольник с углами 30-60-90).

В таком треугольнике:

• Катет, лежащий напротив угла в $$30^\circ$$ (в нашем случае MC), равен половине гипотенузы (BM).
• Катет, лежащий напротив угла в $$60^\circ$$ (в нашем случае BC), равен гипотенузе, умноженной на √3/2.

Нам нужно найти длину отрезка MC. MC — катет, лежащий напротив угла $$30^\circ$$ (∠ CBM).

\[ MC = \frac{BM}{2} \]

Подставим известное значение BM:

\[ MC = \frac{20}{2} = 10 \]

Ответ: 10