ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 40043 Водитель планировал проехать путь из пункта А в пункт В за 4 часа, двигаясь со скоростью 70 км/ч. Однако через некоторое время после начала поездки произошла вынужденная остановка на 40 минут. Чтобы компенсировать задержку, на оставшемся участке пути водитель увеличил скорость до 90 км/ч и прибыл в пункт В вовремя. На каком расстоянии от пункта А произошла вынужденная остановка?

Решение

Давай разберемся с этой задачей по шагам.

1. Сначала определим общее расстояние.

   Если бы водитель ехал без остановок и не менял скорость, он бы проехал путь за 4 часа со скоростью 70 км/ч. Найдем это расстояние:

   \[ S = v \times t \]

   \[ S = 70 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 280 \text{ км} \]

   Итак, общее расстояние между пунктами А и В равно 280 км.

2. Рассчитаем время, которое водитель потратил на движение.

   Водитель ехал 4 часа, но 40 минут из этого времени была остановка. Переведем 40 минут в часы:

   \[ 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч} \]

   Время движения составило:

   \[ t_{движения} = 4 \text{ ч} - \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{12}{3} \text{ ч} - \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{10}{3} \text{ ч} \]

3. Определим, какое расстояние проехал водитель со скоростью 90 км/ч.

   За оставшееся время водитель двигался со скоростью 90 км/ч. Найдем это расстояние:

   \[ S_{второй_участок} = v_{новый} \times t_{движения} \]

   \[ S_{второй_участок} = 90 \text{ км/ч} \times \frac{10}{3} \text{ ч} = 30 \text{ км/ч} \times 10 \text{ ч} = 300 \text{ км} \]

   Стоп! Получилось, что второй участок пути (300 км) больше общего расстояния (280 км). Это значит, что мы ошиблись в расчетах или в условии задачи есть неточность. Давай перепроверим.

   Пересмотр:

   Давай предположим, что 4 часа — это время, которое водитель должен был потратить на весь путь, если бы не было остановки. То есть, первоначальный план был проехать 280 км за 4 часа.

   Теперь, когда произошла остановка на 40 минут (\[ \frac{2}{3} \text{ ч} \]), оставшееся время для движения стало:

   \[ t_{оставшееся} = 4 \text{ ч} - \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{10}{3} \text{ ч} \]

   За это время водитель должен был проехать весь путь (280 км), но уже с новой скоростью.

   Посчитаем новую скорость, чтобы успеть вовремя:

   \[ v_{новый} = \frac{S}{t_{оставшееся}} = \frac{280 \text{ км}}{\frac{10}{3} \text{ ч}} = 280 \times \frac{3}{10} = 28 \times 3 = 84 \text{ км/ч} \]

   Но в условии сказано, что водитель увеличил скорость до 90 км/ч. Это означает, что он прибыл в пункт В раньше запланированного времени. Давай прочитаем условие внимательно: "прибыл в пункт В вовремя". Это значит, что он должен был уложиться в те же 4 часа. Значит, мои расчеты выше верны, и скорость действительно должна была быть 84 км/ч, чтобы успеть. Но в условии указано 90 км/ч.

   Давай попробуем решить задачу, исходя из того, что время движения было какое-то неизвестное, а скорость увеличилась до 90 км/ч.

   Пусть:

   • \(S\) - общее расстояние (280 км)
   • \(t_1\) - время первой части пути (до остановки)
   • \(v_1 = 70\) км/ч
   • \(t_{ост} = \frac{2}{3}\) ч (40 минут)
   • \(t_2\) - время второй части пути (после остановки)
   • \(v_2 = 90\) км/ч

   Общее время в пути: \(t_1 + t_{ост} + t_2 = 4\) часа.

   Расстояние первой части пути: \(S_1 = v_1 \times t_1 = 70 t_1\)

   Расстояние второй части пути: \(S_2 = v_2 \times t_2 = 90 t_2\)

   Общее расстояние: \(S_1 + S_2 = S \Rightarrow 70 t_1 + 90 t_2 = 280\)

   Из уравнения общего времени: \(t_1 + \frac{2}{3} + t_2 = 4\) => \(t_1 + t_2 = 4 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}\) => \(t_2 = \frac{10}{3} - t_1\)

   Подставим \(t_2\) в уравнение расстояния:

   \[ 70 t_1 + 90 (\frac{10}{3} - t_1) = 280 \]

   \[ 70 t_1 + 90 \times \frac{10}{3} - 90 t_1 = 280 \]

   \[ 70 t_1 + 30 \times 10 - 90 t_1 = 280 \]

   \[ 70 t_1 + 300 - 90 t_1 = 280 \]

   \[ -20 t_1 = 280 - 300 \]

   \[ -20 t_1 = -20 \]

   \[ t_1 = 1 \text{ час} \]

   Вот теперь все сходится! Время до остановки - 1 час.

4. Находим расстояние до остановки.

   Теперь, когда мы знаем время первой части пути, мы можем найти расстояние:

   \[ S_1 = v_1 \times t_1 \]

   \[ S_1 = 70 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 70 \text{ км} \]

5. Проверка:

   \(t_1 = 1\) час.

   \(S_1 = 70\) км.

   \(t_{ост} = \frac{2}{3}\) часа (40 минут).

   \(t_2 = \frac{10}{3} - t_1 = \frac{10}{3} - 1 = \frac{7}{3}\) часа.

   \(S_2 = v_2 \times t_2 = 90 \text{ км/ч} \times \frac{7}{3} \text{ ч} = 30 \text{ км/ч} \times 7 \text{ ч} = 210 \text{ км}.\)

   Общее расстояние: \(S_1 + S_2 = 70 \text{ км} + 210 \text{ км} = 280 \text{ км}.\)

   Общее время: \(t_1 + t_{ост} + t_2 = 1 \text{ ч} + \frac{2}{3} \text{ ч} + \frac{7}{3} \text{ ч} = 1 \text{ ч} + \frac{9}{3} \text{ ч} = 1 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 4 \text{ ч}.\)

   Все сходится!

Ответ: 70 км.