ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 40095 Задумали трёхзначное число, которое делится на 37 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано? Решение.

Краткое пояснение:

Для решения задачи составим алгебраическое уравнение, учитывая условия делимости и соотношения между цифрами.

Пошаговое решение:

1. Обозначим задуманное трёхзначное число как \( \overline{abc} \), где \( a \) — первая цифра, \( b \) — вторая, \( c \) — третья.
2. По условию, число делится на 37: \( 100a + 10b + c = 37k \) для некоторого целого \( k \).
3. Последняя цифра в 2 раза меньше первой: \( c = a / 2 \). Из этого следует, что \( a \) должно быть чётным и \( a \in \{2, 4, 6, 8} \) (так как \( a \) — первая цифра трёхзначного числа, \( a
   e 0 \)).
4. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет \( \overline{cba} \).
5. Разность между задуманным числом и числом, записанным в обратном порядке, больше 300: \( \overline{abc} - \overline{cba} > 300 \).
6. Подставляем выражения для \( \overline{abc} \) и \( \overline{cba} \): \( (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) > 300 \).
7. Упрощаем: \( 100a + 10b + c - 100c - 10b - a > 300 \) => \( 99a - 99c > 300 \) => \( 99(a - c) > 300 \) => \( a - c > 300 / 99 \) => \( a - c > 3.03 \).
8. Теперь перебираем возможные значения \( a \) и \( c \), учитывая \( c = a / 2 \) и \( a - c > 3.03 \):
   • Если \( a = 2 \), то \( c = 1 \). \( a - c = 2 - 1 = 1 \). \( 1
     gtr 3.03 \). Не подходит.
   • Если \( a = 4 \), то \( c = 2 \). \( a - c = 4 - 2 = 2 \). \( 2
     gtr 3.03 \). Не подходит.
   • Если \( a = 6 \), то \( c = 3 \). \( a - c = 6 - 3 = 3 \). \( 3
     gtr 3.03 \). Не подходит.
   • Если \( a = 8 \), то \( c = 4 \). \( a - c = 8 - 4 = 4 \). \( 4 > 3.03 \). Подходит.
9. Итак, \( a = 8 \) и \( c = 4 \). Теперь нам нужно найти \( b \) такое, чтобы число \( \overline{8b4} \) делилось на 37.
10. Проверим числа вида \( 8b4 \) на делимость на 37:
    • \( 804 : 37 \) — не целое.
    • \( 814 : 37 \) — не целое.
    • \( 824 : 37 \) — не целое.
    • \( 834 : 37 = 22.54... \)
    • \( 844 : 37 = 22.81... \)
    • \( 854 : 37 = 23.08... \)
    • \( 864 : 37 = 23.35... \)
    • \( 874 : 37 = 23.62... \)
    • \( 884 : 37 = 23.89... \)
    • \( 894 : 37 = 24.16... \)
11. Перепроверим условие \( a - c > 3.03 \). Если \( a = 8, c = 4 \), то \( a - c = 4 \). \( 99 * 4 = 396 \). \( 396 > 300 \). Это условие выполняется.
12. Возвращаемся к делимости на 37. Можно подставить \( a=8, c=4 \) в \( 100a + 10b + c = 37k \) => \( 100(8) + 10b + 4 = 37k \) => \( 800 + 10b + 4 = 37k \) => \( 804 + 10b = 37k \).
13. Найдём \( k \) для чисел, начинающихся на 8 и заканчивающихся на 4, которые делятся на 37. Перечислим кратные 37: 37, 74, 111, 148, 185, 222, 259, 296, 333, 370, 407, 444, 481, 518, 555, 592, 629, 666, 703, 740, 777, 814, 851, 888, 925, 962, 999.
14. Ищем число вида \( 8b4 \) среди кратных 37. Это число \( 814 \) (где \( b = 1 \)).
15. Проверим: \( 814 / 37 = 22 \).
16. Проверим также \( 851 \) - не подходит (должно заканчиваться на 4).
17. Проверим \( 888 \) - не подходит (должно заканчиваться на 4).
18. Значит, задуманное число — 814.
19. Проверим условия:
• Число 814 трёхзначное.
• 814 делится на 37 (814 = 37 * 22).
• Последняя цифра (4) в 2 раза меньше первой (8).
• Число, записанное в обратном порядке: 418.
• Разность: 814 - 418 = 396.
• 396 > 300.

Ответ: 814