ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 2. Думали трёхзначное число, которое делится на 21 и последняя цифра которого в 4 ра ньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратно рядке. Полученная разность оказалась больше 400. Какое число было задумано?

Решение:

Обозначим задуманное трехзначное число как abc, где a - первая цифра, b - вторая, c - третья.

По условию задачи:

1. Число abc делится на 21.
2. Последняя цифра c на 4 меньше первой a, то есть c = a - 4.
3. Из числа abc вычли число, записанное теми же цифрами в обратном порядке (cba).
4. Разность abc - cba больше 400.

Так как c = a - 4, и обе цифры являются однозначными (от 0 до 9), а также a не может быть 0 (так как это первая цифра трехзначного числа), то возможны следующие пары (a; c):

• Если a = 5, то c = 1.
• Если a = 6, то c = 2.
• Если a = 7, то c = 3.
• Если a = 8, то c = 4.
• Если a = 9, то c = 5.

Теперь рассмотрим разность abc - cba. Число abc можно представить как 100a + 10b + c, а число cba как 100c + 10b + a.

Разность: (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99a - 99c = 99(a - c).

Мы знаем, что a - c = 4. Следовательно, разность равна 99 * 4 = 396.

По условию задачи, полученная разность должна быть больше 400. Однако, при всех возможных парах (a; c), разность всегда равна 396.

Это означает, что в условии задачи, скорее всего, есть неточность, или мы не учли какой-то нюанс.

Давайте перепроверим условие: "Последняя цифра которого в 4 ра ньше первой.". Возможно, имелось в виду, что последняя цифра на 4 больше первой, или наоборот. Но будем придерживаться прямого прочтения.

Если принять, что разность больше 400, то при a - c = 4, такое условие не выполняется. Но если предположить, что имелась в виду разность cba - abc, то тогда cba - abc = 99(c - a) = 99 * (-4) = -396, что также не больше 400.

Давайте предположим, что a и c отличаются на 4, и разность abc - cba > 400. Это возможно только если a > c, что мы уже учли. Таким образом, a-c=4.

Разность 99 * 4 = 396.

Если допустить, что условие «больше 400» относится к самому числу, или что есть какая-то другая интерпретация, но исходя из дословного прочтения, разность всегда 396.

Предположим, что в условии есть опечатка и разность должна быть 396.

Теперь проверим условие делимости на 21.

Для пар (a; c):

• (5; 1): Число 5b1. Сумма цифр 5+b+1 = 6+b. Чтобы делилось на 3, 6+b должно делиться на 3. Возможные b: 0, 3, 6, 9. Числа: 501, 531, 561, 591.
• (6; 2): Число 6b2. Сумма цифр 6+b+2 = 8+b. Чтобы делилось на 3, 8+b должно делиться на 3. Возможные b: 1, 4, 7. Числа: 612, 642, 672.
• (7; 3): Число 7b3. Сумма цифр 7+b+3 = 10+b. Чтобы делилось на 3, 10+b должно делиться на 3. Возможные b: 2, 5, 8. Числа: 723, 753, 783.
• (8; 4): Число 8b4. Сумма цифр 8+b+4 = 12+b. Чтобы делилось на 3, 12+b должно делиться на 3. Возможные b: 0, 3, 6, 9. Числа: 804, 834, 864, 894.
• (9; 5): Число 9b5. Сумма цифр 9+b+5 = 14+b. Чтобы делилось на 3, 14+b должно делиться на 3. Возможные b: 1, 4, 7. Числа: 915, 945, 975.

Теперь проверим делимость на 7 для найденных чисел:

• 501: 501 / 7 = 71.57... (не делится)
• 531: 531 / 7 = 75.85... (не делится)
• 561: 561 / 7 = 80.14... (не делится)
• 591: 591 / 7 = 84.42... (не делится)
• 612: 612 / 7 = 87.42... (не делится)
• 642: 642 / 7 = 91.71... (не делится)
• 672: 672 / 7 = 96. (делится!)
• 723: 723 / 7 = 103.28... (не делится)
• 753: 753 / 7 = 107.57... (не делится)
• 783: 783 / 7 = 111.85... (не делится)
• 804: 804 / 7 = 114.85... (не делится)
• 834: 834 / 7 = 119.14... (не делится)
• 864: 864 / 7 = 123.42... (не делится)
• 894: 894 / 7 = 127.71... (не делится)
• 915: 915 / 7 = 130.71... (не делится)
• 945: 945 / 7 = 135. (делится!)
• 975: 975 / 7 = 139.28... (не делится)

Итак, числа, которые делятся на 21 (то есть и на 3, и на 7) и у которых последняя цифра на 4 меньше первой, это: 672 и 945.

Проверим условие разности больше 400:

• Для числа 672: a=6, c=2. Разность abc - cba = 672 - 276 = 396. Это не больше 400.
• Для числа 945: a=9, c=5. Разность abc - cba = 945 - 549 = 396. Это также не больше 400.

Учитывая, что разность abc - cba всегда равна 396, и условие гласит "разность оказалась больше 400", то формально ни одно число не подходит.

Однако, в задачах такого типа часто бывает, что разность 396 является ключевой, и условие «больше 400» может быть следствием ошибки в формулировке.

Если предположить, что задача имеет решение, то, возможно, нужно искать число, для которого разность cba - abc была бы положительной и больше 400, но это невозможно, так как a > c.

Наиболее вероятный вариант — это число 945, так как оно больше, и является одним из кандидатов, делящихся на 21, при условии, что условие про разность > 400 ошибочно, и должно быть 396.

Давайте рассмотрим случай, если последняя цифра на 4 меньше первой, то есть c = a - 4.

Наибольшее число, удовлетворяющее условию делимости на 21 и a-c=4, это 945.

Если же бы было наоборот, a = c - 4, то пары (a; c) были бы:

• (1; 5): Число 1b5. Сумма 6+b. b=0,3,6,9. Числа: 105, 135, 165, 195.
• (2; 6): Число 2b6. Сумма 8+b. b=1,4,7. Числа: 216, 246, 276.
• (3; 7): Число 3b7. Сумма 10+b. b=2,5,8. Числа: 327, 357, 387.
• (4; 8): Число 4b8. Сумма 12+b. b=0,3,6,9. Числа: 408, 438, 468, 498.
• (5; 9): Число 5b9. Сумма 14+b. b=1,4,7. Числа: 519, 549, 579.

Проверим делимость на 7:

• 105 / 7 = 15. 105 делится на 21. Разность 501 - 105 = 396.
• 135 / 7 = 19.28...
• 165 / 7 = 23.57...
• 195 / 7 = 27.85...
• 216 / 7 = 30.85...
• 246 / 7 = 35.14...
• 276 / 7 = 39.42...
• 327 / 7 = 46.71...
• 357 / 7 = 51. 357 делится на 21. Разность 735 - 357 = 378.
• 387 / 7 = 55.28...
• 408 / 7 = 58.28...
• 438 / 7 = 62.57...
• 468 / 7 = 66.85...
• 498 / 7 = 71.14...
• 519 / 7 = 74.14...
• 549 / 7 = 78.42...
• 579 / 7 = 82.71...

Числа, удовлетворяющие условию делимости на 21, где a = c - 4: 105, 357.

Разность для 105: 501 - 105 = 396.

Разность для 357: 735 - 357 = 378.

В обоих случаях разность не больше 400.

Если исходить из условия, что разность abc - cba > 400, и мы знаем, что abc - cba = 99(a - c), то 99(a - c) > 400, что означает a - c > 400/99 ≈ 4.04. Таким образом, a - c должно быть как минимум 5.

Проверим пары (a; c) где a - c = 5:

• (5; 0): Число 5b0. Сумма 5+b. b=1,4,7. Числа: 510, 540, 570.
• (6; 1): Число 6b1. Сумма 7+b. b=2,5,8. Числа: 621, 651, 681.
• (7; 2): Число 7b2. Сумма 9+b. b=0,3,6,9. Числа: 702, 732, 762, 792.
• (8; 3): Число 8b3. Сумма 11+b. b=1,4,7. Числа: 813, 843, 873.
• (9; 4): Число 9b4. Сумма 13+b. b=2,5,8. Числа: 924, 954, 984.

Проверим делимость на 7:

• 510 / 7 = 72.85...
• 540 / 7 = 77.14...
• 570 / 7 = 81.42...
• 621 / 7 = 88.71...
• 651 / 7 = 93. 651 делится на 21. Разность 651 - 156 = 495. 495 > 400.
• 681 / 7 = 97.28...
• 702 / 7 = 100.28...
• 732 / 7 = 104.57...
• 762 / 7 = 108.85...
• 792 / 7 = 113.14...
• 813 / 7 = 116.14...
• 843 / 7 = 120.42...
• 873 / 7 = 124.71...
• 924 / 7 = 132. 924 делится на 21. Разность 924 - 429 = 495. 495 > 400.
• 954 / 7 = 136.28...
• 984 / 7 = 140.57...

Таким образом, при условии, что разность abc - cba > 400, и a - c >= 5, у нас есть два кандидата: 651 и 924.

Обе эти пары (6; 1) и (9; 4) удовлетворяют условию a - c = 5. И обе разности (495) больше 400.

Возможно, в условии "последняя цифра которого в 4 ра ньше первой" имелось в виду, что разница цифр равна 4, а не то, что c = a - 4.

Но если строго следовать формулировке "последняя цифра которого в 4 ра ньше первой", то это c = a - 4. И тогда разность всегда 396, что не удовлетворяет условию.

Если же условие "больше 400" является ключевым, и разница цифр a и c должна быть больше 4, то есть a - c >= 5 (так как a и c - цифры).

При a - c = 5, мы нашли числа 651 и 924.

Оба числа делятся на 21.

Для 651: a=6, c=1. c = a - 5 (а не a - 4).

Для 924: a=9, c=4. c = a - 5 (а не a - 4).

Если же задача сформулирована именно так, как она есть, и нет опечаток, то решения нет.

Но если принять, что «в 4 раньше» означает, что разница между цифрами равна 4, то есть |a - c| = 4.

Мы уже рассмотрели случай a - c = 4, где разность 396.

Рассмотрим случай c - a = 4:

• (1; 5) -> 105, 135, 165, 195
• (2; 6) -> 216, 246, 276
• (3; 7) -> 327, 357, 387
• (4; 8) -> 408, 438, 468, 498
• (5; 9) -> 519, 549, 579

Делимость на 21:

• 105 (a=1, c=5). Разность 501-105=396.
• 357 (a=3, c=7). Разность 735-357=378.

В этих случаях разность также меньше 400.

Самый логичный вывод: в условии задачи есть ошибка. Если бы разность была равна 396, то числа 672 и 945 подошли бы.

Если бы условие было «цифра десятков в 4 раза меньше первой» или что-то подобное.

Но при условии, что разность > 400, и a - c = 4, решений нет.

Если предположить, что a - c = 5, то есть разность цифр равна 5, то мы нашли 651 и 924.

Разность для 651: 651 - 156 = 495. (a=6, c=1). c = a - 5.

Разность для 924: 924 - 429 = 495. (a=9, c=4). c = a - 5.

Если принять, что в условии “в 4 раньше” имелось в виду “на 5 раньше”, то подходят 651 и 924. Оба делятся на 21, и разность больше 400.

Без дополнительных уточнений или исправления ошибки в условии, задача не имеет однозначного решения.

Однако, если предположить, что задача корректна, и разность abc - cba действительно больше 400, это означает, что 99 * (a - c) > 400, т.е. a - c > 4.04. Наименьшее целое значение для a - c равно 5.

Теперь ищем трехзначные числа abc, делящиеся на 21, такие что a - c = 5.

Мы нашли такие числа: 651 (a=6, c=1) и 924 (a=9, c=4).

Оба числа делятся на 21 (651 = 21 * 31, 924 = 21 * 44).

Для 651: 651 - 156 = 495 > 400. Цифра '1' на 5 меньше '6'.

Для 924: 924 - 429 = 495 > 400. Цифра '4' на 5 меньше '9'.

Задача сформулирована как "последняя цифра которого в 4 ра ньше первой". Если это буквально c = a - 4, то разность 396, и решения нет.

Если же "в 4 раньше" означает, что разница между цифрами 4, то есть |a - c| = 4, то в случае a - c = 4 разность 396. А в случае c - a = 4, разность отрицательна.

Исходя из того, что разность должна быть больше 400, наиболее вероятно, что разница между цифрами a и c должна быть 5, а не 4. В этом случае числа 651 и 924 подходят.

Чаще всего в таких задачах имеется в виду именно первое найденное число.

Учитывая, что цифра 4, упомянутая в условии, может быть ошибкой, и должна быть 5, то число 651 является ответом.

Если принять, что разница между первой и последней цифрой равна 5, и число делится на 21:

Искомое число abc, a - c = 5, abc делится на 21.

Мы нашли 651 и 924.

Разность abc - cba = 99 * (a - c) = 99 * 5 = 495.

495 > 400.

Оба числа подходят под условие, если разница цифр равна 5.

Если нужно выбрать одно число, чаще выбирают меньшее из возможных, но это не всегда так.

Давайте предположим, что в условии