ВПР. Математика. 8 класс. Углублённый уровень. Вариант 1. Часть 2 Путь длиной 46 км первый велосипедист проезжает на 18 минут дольше второго. Найдите скорость второго велосипедиста, если известно, что она на 3 км/ч больше скорости первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Обозначим переменные: Пусть $$v_1$$ — скорость первого велосипедиста (в км/ч), а $$v_2$$ — скорость второго велосипедиста (в км/ч).
2. Выразим время: Время в пути равно расстоянию, деленному на скорость. Переведем 18 минут в часы: $$18 ext{ мин} = rac{18}{60} ext{ ч} = 0.3 ext{ ч}$$.
   • Время первого велосипедиста: $$t_1 = rac{46}{v_1}$$ ч.
   • Время второго велосипедиста: $$t_2 = rac{46}{v_2}$$ ч.
3. Составим уравнение по времени: По условию, первый велосипедист ехал на 18 минут дольше второго, то есть $$t_1 = t_2 + 0.3$$.

   Подставим выражения для времени: $$rac{46}{v_1} = rac{46}{v_2} + 0.3$$.

4. Свяжем скорости: Известно, что скорость второго велосипедиста на 3 км/ч больше скорости первого, то есть $$v_2 = v_1 + 3$$.
5. Подставим во временное уравнение: Заменим $$v_1$$ на $$v_2 - 3$$ в уравнении времени:

   \[ \frac{46}{v_2 - 3} = \frac{46}{v_2} + 0.3 \]

6. Решим полученное уравнение:
   • Приведем к общему знаменателю:

     \[ \frac{46}{v_2 - 3} - \frac{46}{v_2} = 0.3 \]

     \[ \frac{46v_2 - 46(v_2 - 3)}{v_2(v_2 - 3)} = 0.3 \]

     \[ \frac{46v_2 - 46v_2 + 138}{v_2^2 - 3v_2} = 0.3 \]

     \[ \frac{138}{v_2^2 - 3v_2} = 0.3 \]

   • Выразим знаменатель:

     \[ v_2^2 - 3v_2 = \frac{138}{0.3} \]

     \[ v_2^2 - 3v_2 = 460 \]

   • Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение:

     \[ v_2^2 - 3v_2 - 460 = 0 \]

   • Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-460) = 9 + 1840 = 1849$$.

     $$\|D = \sqrt{1849} = 43$$.

   • Найдем корни уравнения:

     \[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 43}{2} \]

     • $$v_{2,1} = rac{3 + 43}{2} = rac{46}{2} = 23$$ (км/ч)
     • $$v_{2,2} = rac{3 - 43}{2} = rac{-40}{2} = -20$$ (км/ч). Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень отбрасываем.
7. Проверка:
   • Скорость второго велосипедиста $$v_2 = 23$$ км/ч.
   • Скорость первого велосипедиста $$v_1 = v_2 - 3 = 23 - 3 = 20$$ км/ч.
   • Время первого: $$t_1 = rac{46}{20} = 2.3$$ ч.
   • Время второго: $$t_2 = rac{46}{23} = 2$$ ч.
   • Разница во времени: $$t_1 - t_2 = 2.3 - 2 = 0.3$$ ч, что равно 18 минутам. Условие задачи выполняется.

Ответ: 23 км/ч