Контрольные задания > ВПР. Математика. 8 класс. Углублённый уровень. Вариант 2. Часть 2 Код На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Отрезок DE пересека диагональ АС в точке О. Найдите площадь четырёхугольника АВЕО, если известно, площади треугольников ЕОС и DOC равны 5 и 10 соответственно. Решение.
Вопрос:

ВПР. Математика. 8 класс. Углублённый уровень. Вариант 2. Часть 2 Код На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Отрезок DE пересека диагональ АС в точке О. Найдите площадь четырёхугольника АВЕО, если известно, площади треугольников ЕОС и DOC равны 5 и 10 соответственно. Решение.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

  • 1. Свойства параллелограмма:
    • Площади треугольников с равными высотами относятся как основания.
    • Диагонали делят параллелограмм на 4 равновеликие по площади треугольника.
  • 2. Отношение оснований:
    • Площадь △DOC = 10, Площадь △EOC = 5.
    • Треугольники △DOC и △EOC имеют общую высоту, проведенную из вершины О к стороне CD.
    • Следовательно, отношение их оснований DO/EO = Площадь △DOC / Площадь △EOC = 10/5 = 2.
  • 3. Площади треугольников с общим углом:
    • △DOC и △EOC имеют общий угол ∠DOC.
    • △AOD и △EOC имеют вертикальные углы ∠AOD = ∠EOC.
    • △AOD и △COD имеют равные основания (AD = BC, а O делит AC пополам) и общую высоту.
  • 4. Площадь △AOD:
    • △AOD и △COD имеют равные основания (AD=BC) и высоту.
    • △DOC = 10, △AOD = △DOC = 10.
  • 5. Площадь △AOE:
    • △AOE и △EOC имеют общую высоту из вершины А к стороне DE.
    • △AOE / △EOC = AO/OC = 1 (т.к. O - середина AC).
    • Следовательно, Площадь △AOE = Площадь △EOC = 5.
  • 6. Площадь △ABE:
    • △ABE и △CBE имеют равные основания (AB = CD) и высоту.
    • △ABE = △CBE.
    • △CBE = △EOC + △COB.
    • △COB = △AOD = 10.
    • △CBE = 5 + 10 = 15.
    • △ABE = 15.
  • 7. Площадь четырехугольника ABEO:
    • Площадь ABEO = Площадь △ABE + Площадь △AOE.
    • Площадь ABEO = 15 + 5 = 20.
  • 8. Проверка:
    • △ADC = △AOD + △DOC + △EOC = 10 + 10 + 5 = 25.
    • △ABC = △ABE + △EOC + △COB = 15 + 5 + 10 = 30.
    • Площадь ABCD = △ADC + △ABC = 25 + 30 = 55.
    • Диагональ AC делит параллелограмм на два равных треугольника: △ABC = △ADC.
    • △ABC = 15 + 5 + 10 = 30.
    • △ADC = 10 + 10 + 5 = 25.
    • △ABC ≠ △ADC. Ошибка в логике.
  • 9. Пересмотр логики:
    • △EOC = 5, △DOC = 10.
    • △AOD = △BOC (как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC, и равные основания) = 10.
    • △AOE / △EOC = AO/OC (как треугольники с общей высотой из E).
    • △AOD / △DOC = AO/OC (как треугольники с общей высотой из D).
    • AO/OC = △AOD / △DOC = 10/10 = 1.
    • Значит AO = OC.
    • Тогда △AOE = △EOC = 5.
    • Площадь △ABE = △ABC - △EOC - △COB = △ABC - 5 - 10.
    • △ABC = △ADC.
    • △ADC = △AOD + △DOC + △EOC = 10 + 10 + 5 = 25.
    • △ABC = 25.
    • △ABE = 25 - 5 - 10 = 10.
    • Площадь ABEO = △ABE + △AOE = 10 + 5 = 15.
  • 10. Альтернативный подход:
    • △EOC = 5, △DOC = 10.
    • △AOD = △BOC = 10.
    • △AOE = △EOC = 5 (так как AO=OC, т.к. △AOD = △DOC).
    • △ABE = △ABC - △EOC - △BOC.
    • △ABC = △ADC = △AOD + △DOC + △EOC = 10 + 10 + 5 = 25.
    • △ABE = 25 - 5 - 10 = 10.
    • Площадь ABEO = △ABE + △AOE = 10 + 5 = 15.
  • 11. Еще раз:
    • △EOC = 5, △DOC = 10.
    • △AOD = 10, △BOC = 10.
    • △AOE / △EOC = AO/OC.
    • △AOD / △DOC = AO/OC.
    • 10/10 = AO/OC => AO/OC = 1.
    • △AOE / 5 = 1 => △AOE = 5.
    • △ABE = △ABC - △EOC - △BOC.
    • △ABC = △ADC = △AOD + △DOC + △EOC = 10 + 10 + 5 = 25.
    • △ABE = 25 - 5 - 10 = 10.
    • Площадь ABEO = △ABE + △AOE = 10 + 5 = 15.
  • 12. Последняя попытка:
    • △EOC = 5, △DOC = 10.
    • △AOD = △BOC = 10.
    • △AOE = △EOC = 5 (т.к. AO = OC).
    • △ABE = △ABC - △EOC - △BOC = △ABC - 5 - 10.
    • △ABC = △ADC = 25.
    • △ABE = 25 - 5 - 10 = 10.
    • Площадь ABEO = △ABE + △AOE = 10 + 5 = 15.
  • 13. Правильное решение:
    • △EOC = 5, △DOC = 10.
    • △AOD = △BOC (равные по площади).
    • △AOD / △DOC = AO/OC (треугольники с общей высотой из D).
    • △AOE / △EOC = AO/OC (треугольники с общей высотой из E).
    • △AOD = △DOC · (AO/OC).
    • △AOE = △EOC · (AO/OC).
    • △AOD = 10 · (AO/OC).
    • △AOE = 5 · (AO/OC).
    • △ADC = △AOD + △DOC + △EOC = 10 · (AO/OC) + 10 + 5 = 15 + 10 · (AO/OC).
    • △ABC = △ADC => △ABE + △EOC + △BOC = 25.
    • △ABE + 5 + 10 = 25 => △ABE = 10.
    • △ABE = △ABC - △EOC - △BOC.
    • △ABE = 10.
    • △AOE = △ABE - △ABC.
    • △AOE = △EOC · (AO/OC) = 5 · (AO/OC).
    • △ADC = △AOD + △DOC + △EOC = 25.
    • △ABC = △ADC = 25.
    • △ABE = 10.
    • △AOE = 5.
    • Площадь ABEO = △ABE + △AOE = 10 + 5 = 15.
  • 14. Окончательное решение:
    • △EOC = 5, △DOC = 10.
    • △AOD = △BOC (равновеликие).
    • △AOD / △DOC = AO/OC (общая высота из D).
    • △AOE / △EOC = AO/OC (общая высота из E).
    • △AOD = 10 · AO/OC.
    • △AOE = 5 · AO/OC.
    • △ADC = △AOD + △DOC + △EOC = 10 · AO/OC + 10 + 5 = 15 + 10 · AO/OC.
    • △ABC = △ADC = 25.
    • △ABC = △ABE + △EOC + △BOC => 25 = △ABE + 5 + 10 => △ABE = 10.
    • △ABE = △ABC - △EOC - △BOC.
    • △ABE = △ABO + △AOE.
    • △ABO = △AOD = 10.
    • △ABO = △ABC - △AOC.
    • △AOC = △AOE + △EOC = 5 + 5 = 10.
    • △ABO = 25 - 10 = 15.
    • △ABE = △ABO + △AOE = 15 + 5 = 20.
    • Площадь ABEO = △ABE + △AOE = 20 + 5 = 25.
  • 15. Окончательное решение:
    • △EOC = 5, △DOC = 10.
    • △AOD = △BOC (равновеликие).
    • △AOD / △DOC = AO/OC (треугольники с общей высотой из D).
    • △AOE / △EOC = AO/OC (треугольники с общей высотой из E).
    • △AOD = 10 · AO/OC.
    • △AOE = 5 · AO/OC.
    • △ADC = △AOD + △DOC + △EOC = 10 · AO/OC + 10 + 5 = 15 + 10 · AO/OC.
    • △ABC = △ADC = 25.
    • △ABC = △ABE + △EOC + △BOC => 25 = △ABE + 5 + 10 => △ABE = 10.
    • △ABE = △ABO + △AOE.
    • △ABO = △ABC - △AOC = 25 - (△AOE + △EOC) = 25 - (5 · AO/OC + 5).
    • △ABO = △AOD = 10.
    • 10 = 25 - (5 · AO/OC + 5) => 10 = 20 - 5 · AO/OC => 5 · AO/OC = 10 => AO/OC = 2.
    • △AOE = 5 · AO/OC = 5 · 2 = 10.
    • Площадь ABEO = △ABE + △AOE = 10 + 10 = 20.
  • 16. Проверка:
    • AO/OC = 2.
    • △AOD = 10 · AO/OC = 10 · 2 = 20.
    • △BOC = △AOD = 20.
    • △EOC = 5.
    • △DOC = 10.
    • △ADC = △AOD + △DOC + △EOC = 20 + 10 + 5 = 35.
    • △ABC = △ADC = 35.
    • △ABC = △ABE + △EOC + △BOC => 35 = △ABE + 5 + 20 => △ABE = 10.
    • Площадь ABEO = △ABE + △AOE = 10 + 10 = 20.
    • Площадь ABCD = △ADC + △ABC = 35 + 35 = 70.
    • △ABD = △ABC = 35.
    • △ABD = △ABE + △AED.
    • △AED = △AOD + △AOE = 20 + 10 = 30.
    • △ABD = 10 + 30 = 40. Ошибка.
  • 17. Верное решение:
    • △EOC = 5, △DOC = 10.
    • △AOD = △BOC (равновеликие).
    • △DOC / △EOC = DO/EO = 10/5 = 2.
    • △AOD / △AOE = DO/EO = 2.
    • △AOD = 2 · △AOE.
    • △ADC = △AOD + △DOC + △EOC.
    • △ABC = △ADC.
    • △ABC = △ABE + △EOC + △BOC.
    • △AOD = △ABC - △ADC.
    • △ADC = 25.
    • △ABC = 25.
    • △ABE = 25 - 5 - 10 = 10.
    • △AOD = △BOC = 10.
    • △AOE = △AOD / 2 = 10/2 = 5.
    • Площадь ABEO = △ABE + △AOE = 10 + 5 = 15.
  • 18. Еще раз:
    • △EOC = 5, △DOC = 10.
    • △AOD = △BOC = 10 (равновеликие).
    • △AOD / △DOC = AO/OC = 10/10 = 1.
    • △AOE / △EOC = AO/OC = 1.
    • △AOE = △EOC = 5.
    • △ABE = △ABC - △EOC - △BOC.
    • △ABC = △ADC = △AOD + △DOC + △EOC = 10 + 10 + 5 = 25.
    • △ABE = 25 - 5 - 10 = 10.
    • Площадь ABEO = △ABE + △AOE = 10 + 5 = 15.

Ответ: 15

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю