ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2. Найдите значение выражения $$\sqrt{\frac{5-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}}-\sqrt{7}$$.

Решение:

Для решения данного выражения, нам нужно сначала упростить дробь под первым корнем. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число.

1. Упрощение дроби:

   $$ \frac{5-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} \times \frac{3+\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}} = \frac{(5-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} $$

   Числитель:

   $$ (5-\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 5 \times 3 + 5 \times \sqrt{7} - \sqrt{7} \times 3 - \sqrt{7} \times \sqrt{7} = 15 + 5\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 7 = 8 + 2\sqrt{7} $$

   Знаменатель:

   $$ (3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2 $$

   Таким образом, дробь равна:

   $$ \frac{8 + 2\sqrt{7}}{2} = 4 + \sqrt{7} $$

2. Подстановка и вычисление:

   Теперь подставим упрощенную дробь обратно в исходное выражение:

   $$ \sqrt{4+\sqrt{7}} - \sqrt{7} $$

   К сожалению, данное выражение не упрощается дальше без использования приближенных значений или более сложных методов, которые обычно не применяются в задачах такого типа без дополнительных указаний. Вероятно, в условии была опечатка, и выражение должно было быть проще.

   Предположим, что в условии была ошибка и выражение выглядело следующим образом:

   $$ \sqrt{\frac{5-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} \times (3-\sqrt{7})} - \sqrt{7} = \sqrt{5-\sqrt{7}} - \sqrt{7} $$

   Или, возможно, имелось в виду:

   $$ \sqrt{\frac{5-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}} - \sqrt{3-\sqrt{7}} $$

   Если предположить, что было изначально, и искать приближенное значение:

   $$ \sqrt{7} \approx 2.646 $$

   $$ 4 + \sqrt{7} \approx 4 + 2.646 = 6.646 $$

   $$ \sqrt{4+\sqrt{7}} \approx \sqrt{6.646} \approx 2.578 $$

   $$ 2.578 - 2.646 \approx -0.068 $$

   Однако, если предположить, что выражение должно было упроститься до целого числа или простого радикала, то, скорее всего, в исходном задании была опечатка.

   Рассмотрим другой вариант, если бы под корнем было (3-sqrt(7))^2.

   Если бы выражение было:

   $$ \sqrt{\frac{(3-\sqrt{7})^2}{3-\sqrt{7}}}-\sqrt{7} = \sqrt{3-\sqrt{7}}-\sqrt{7} $$

   Этот вариант также не упрощается легко.

   Исходя из стандартной практики подобных заданий, предполагаем, что была опечатка и выражение могло быть, например, таким:

   $$ \sqrt{\frac{5-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}} - \sqrt{3-\sqrt{7}} $$

   Что также не приводит к простому ответу.

   Рассмотрим еще один вариант, если бы дробь сокращалась:

   Если бы числитель был кратен знаменателю, например, $$ (3-\sqrt{7})(a-b\sqrt{7}) $$.

   Без явной опечатки в условии, дать точный и простой ответ невозможно.

Ввиду того, что стандартные методы не приводят к упрощению, и предполагая, что задание предполагает более простое решение, возможно, имелось в виду другое выражение. Однако, строго по данному условию, мы остановимся на том, что дробь под корнем равна $$4+\sqrt{7}$$.

Приводя к виду: $$\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{7}$$