ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 12√2.

Пусть AB = h. Так как AC - биссектриса угла A, то ∠BAC = ∠CAD = 45°.

В прямоугольной трапеции AB || CD и ∠A = 90°, поэтому ∠ACB = ∠CAD = 45° (как накрест лежащие углы).

В треугольнике ABC: ∠ABC = 90°, ∠BAC = 45°, ∠BCA = 45°. Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный, AB = BC = h.

Так как BC - меньшее основание, то BC = 12√2. Значит, h = 12√2.

В прямоугольном треугольнике ABD: AB = 12√2, AD = AB + CD. Так как ABCD - прямоугольная трапеция, то CD = AB = 12√2. Следовательно, AD = 12√2 + 12√2 = 24√2.

По теореме Пифагора в треугольнике ABD: BD² = AB² + AD² = (12√2)² + (24√2)² = 288 + 1152 = 1440.

BD = √1440 = √(144 * 10) = 12√10.