ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 13 Решите уравнение 4x² + 12x + 9 = (х+4)².

Привет! Давай разберем это уравнение вместе.

Дано:

• Уравнение: \( 4x^2 + 12x + 9 = (x+4)^2 \)

Решение:

1. Раскроем скобки:

   Сначала раскроем правую часть уравнения, используя формулу квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \):

   • \( (x+4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 \)

   Теперь наше уравнение выглядит так:

   • \( 4x^2 + 12x + 9 = x^2 + 8x + 16 \)
2. Перенесем все члены в одну сторону:

   Чтобы решить квадратное уравнение, нужно привести его к виду \( ax^2 + bx + c = 0 \). Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя знаки:

   • \( 4x^2 - x^2 + 12x - 8x + 9 - 16 = 0 \)

   Сгруппируем подобные слагаемые:

   • \( (4x^2 - x^2) + (12x - 8x) + (9 - 16) = 0 \)
   • \( 3x^2 + 4x - 7 = 0 \)
3. Решим полученное квадратное уравнение:

   Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a=3 \), \( b=4 \), \( c=-7 \). Найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \):

   • \( D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) \)
   • \( D = 16 - (-84) \)
   • \( D = 16 + 84 \)
   • \( D = 100 \)

   Так как \( D > 0 \), у нас будет два корня. Найдем их по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

   Первый корень (x₁):

   • \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} \)
   • \( x_1 = \frac{-4 + 10}{6} \)
   • \( x_1 = \frac{6}{6} \)
   • \( x_1 = 1 \)

   Второй корень (x₂):

   • \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} \)
   • \( x_2 = \frac{-4 - 10}{6} \)
   • \( x_2 = \frac{-14}{6} \)
   • \( x_2 = -\frac{7}{3} \)
4. Проверка (необязательна, но полезна):

   Подставим найденные корни обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения.

   Для x = 1:

   • Левая часть: \( 4(1)^2 + 12(1) + 9 = 4 + 12 + 9 = 25 \)
   • Правая часть: \( (1+4)^2 = 5^2 = 25 \)
   • \( 25 = 25 \) (Верно)

   Для x = -7/3:

   • Левая часть: \( 4(-\frac{7}{3})^2 + 12(-\frac{7}{3}) + 9 = 4(\frac{49}{9}) - \frac{84}{3} + 9 = \frac{196}{9} - 28 + 9 = \frac{196}{9} - 19 = \frac{196}{9} - \frac{171}{9} = \frac{25}{9} \)
   • Правая часть: \( (-\frac{7}{3}+4)^2 = (-\frac{7}{3}+\frac{12}{3})^2 = (\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9} \)
   • \( \frac{25}{9} = \frac{25}{9} \) (Верно)

Ответ: x = 1, x = -7/3