ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 17. Найдите значение выражения \(\frac{36}{4+\sqrt{7}}+4\sqrt{7}\).

Решение:

1. Рационализация знаменателя: Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе первой дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (4 - \(\sqrt{7}\)):
   \[ \frac{36}{4+\sqrt{7}} = \frac{36 \cdot (4-\sqrt{7})}{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})} \]
   Используем формулу разности квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\):
   \[ = \frac{36 \cdot (4-\sqrt{7})}{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{36 \cdot (4-\sqrt{7})}{16 - 7} = \frac{36 \cdot (4-\sqrt{7})}{9} \]
   Сократим дробь на 9:
   \[ = 4 \cdot (4-\sqrt{7}) = 16 - 4\sqrt{7} \]
2. Подстановка и вычисление: Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
   \[ (16 - 4\sqrt{7}) + 4\sqrt{7} \]
   Слагаемые \(-4\sqrt{7}\) и \(+4\sqrt{7}\) взаимно уничтожаются:
   \[ = 16 \]

Ответ: 16