ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 17 Найдите значение выражения Решение.

Краткое пояснение:

Чтобы найти значение выражения, нужно воспользоваться формулой сокращенного умножения и свойствами квадратных корней.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем знаменатель дроби, используя формулу квадрата суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). В нашем случае \( a=2 \) и \( b=\sqrt{3} \).
   \( (2+\sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \).
2. Шаг 2: Заменим знаменатель полученным выражением: \( \frac{52}{7 + 4\sqrt{3}} \).
3. Шаг 3: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю \( 7 - 4\sqrt{3} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.
   \( \frac{52}{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \frac{7 - 4\sqrt{3}}{7 - 4\sqrt{3}} = \frac{52(7 - 4\sqrt{3})}{7^2 - (4\sqrt{3})^2} \).
4. Шаг 4: Вычислим знаменатель: \( 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1 \).
5. Шаг 5: Упростим дробь: \( \frac{52(7 - 4\sqrt{3})}{1} = 52(7 - 4\sqrt{3}) \).
6. Шаг 6: Раскроем скобки: \( 52 \cdot 7 - 52 \cdot 4\sqrt{3} = 364 - 208\sqrt{3} \).

Ответ: 364 - 208√3