ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 18 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ АС является биссектрисой угла А, величина которого равна 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 9√2. Решение.

Решение:

1. Анализ условия:
   
   
   
   • Трапеция прямоугольная, значит, углы при одном из оснований равны 90°.
   
   
   • Диагональ AC — биссектриса угла A.
   
   
   • Угол A = 45°.
   
   
   • Меньшее основание = 9√2.
   
   
   
   


2. Свойства биссектрисы:
   
   
   
   • Так как AC — биссектриса угла A, то угол BAC = угол CAD = 45°/2 = 22.5°.
   
   
   • В прямоугольной трапеции углы при основании AD равны 90° (угол D и угол A, если BC — меньшее основание, или угол A и угол B, если AD — меньшее основание). Предположим, что BC — меньшее основание.
   
   
   
   


3. Свойства трапеции:
   
   
   
   • BC || AD.
   
   
   • Угол BCA = угол CAD (как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC).
   
   
   • Следовательно, угол BCA = 22.5°.
   
   
   
   


4. Рассмотрим треугольник ABC:
   
   
   
   • Угол BAC = 22.5°.
   
   
   • Угол ABC = 90° (так как трапеция прямоугольная, и AB — высота).
   
   
   • Угол BCA = 180° - 90° - 22.5° = 67.5°.
   
   
   
   


5. Важное свойство:
   
   
   
   • Если диагональ является биссектрисой угла при основании в прямоугольной трапеции, то боковая сторона, прилежащая к этому углу, равна меньшему основанию.
   
   
   • В нашем случае, так как AC — биссектриса угла A, то AB = BC.
   
   
   • По условию, меньшее основание равно 9√2, значит, BC = 9√2.
   
   
   • Следовательно, AB = 9√2.
   
   
   
   


6. Находим AD:
   
   
   
   • В прямоугольном треугольнике ACD: угол CAD = 22.5°, угол D = 90°.
   
   
   • Угол ACD = 180° - 90° - 22.5° = 67.5°.
   
   
   • Можно найти AD, но это не требуется для нахождения BD.
   
   
   • Однако, можно заметить, что в прямоугольной трапеции, если биссектриса угла при основании делит противолежащую боковую сторону (или продолжение основания) на отрезки, то... (этот путь может быть сложным).
   
   
   • Проще использовать свойство, которое мы уже нашли: AB = BC = 9√2.
   
   
   • Чтобы найти AD, рассмотрим треугольник AB D. В нем AB = 9√2, угол A = 45°. Угол B = 90°. Это прямоугольный треугольник.
     
     
     ОШИБКА! Угол A в трапеции равен 45°, но в треугольнике ABD угол DAB = 45°. Угол ABD = 90° (так как AB - высота трапеции).
   
   
   • В прямоугольном треугольнике ABD:
     
     
     
     • AB = 9√2 (высота трапеции, равная меньшему основанию).
     
     
     • Угол DAB = 45°.
     
     
     • Угол ADB = 180° - 90° - 45° = 45°.
     
     
     
     
   
   
   • Следовательно, треугольник ABD — равнобедренный прямоугольный треугольник.
   
   
   • AB = BD = 9√2.
   
   
   
   

Ответ: 9√2