ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 18 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 8, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 4√3. Решение.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Дано: ABCD — прямоугольная трапеция, AD || BC, ∠A = 90°, BD = 8, BC = 4√3.
2. Найти: Большая боковая сторона (AB или CD).
3. Шаг 1: Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABD, ∠A = 90°.
4. Шаг 2: Используем тригонометрию в прямоугольном треугольнике ABD. Так как ∠A = 45°, то треугольник ABD является равнобедренным, ∠ABD = 45°. Следовательно, AB = AD.
5. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике ABH, AB = BH (так как трапеция прямоугольная). BC = HD = 4√3.
6. Шаг 4: В прямоугольном треугольнике BCD, ∠C = 90°. У нас есть BD = 8 и CD — искомая боковая сторона.
7. Шаг 5: Рассмотрим треугольник ABD. По теореме Пифагора: $$AD^2 + AB^2 = BD^2$$. Так как AD = AB, то $$2 \times AB^2 = 8^2 = 64$$. $$AB^2 = 32$$. $$AB = √32 = 4√2$$.
8. Шаг 6: В прямоугольной трапеции ABCD, $$AD = AB + HD$$. Так как AD = AB, то $$AB = AB + HD$$, что означает HD = 0, чего не может быть. Значит, угол A в условии задачи 45° относится к углу при основании, а не к прямому углу. По условию трапеция прямоугольная, значит, углы при одном из оснований равны 90°. Предположим, что ∠A = ∠D = 90°.
9. Шаг 7: Если ∠A = 90°, тогда AB — высота. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Угол A = 90°. По теореме Пифагора: $$AD^2 + AB^2 = BD^2$$.
10. Шаг 8: Перечитаем условие: "В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 8, а угол А равен 45°". Здесь угол А не является прямым. У нас есть два варианта: либо трапеция прямоугольная из-за двух прямых углов при одном основании, либо она имеет одну боковую сторону, перпендикулярную основаниям. Если ABCD — прямоугольная трапеция, то ∠A = ∠D = 90° или ∠B = ∠C = 90°. Если ∠A = ∠D = 90°, то AB перпендикулярна AD и BC.
11. Шаг 9: Давайте предположим, что ∠D = 90°, тогда CD перпендикулярна AD и BC. AB — боковая сторона. В прямоугольном треугольнике BCD: $$BC^2 + CD^2 = BD^2$$.
12. Шаг 10: Условие "угол А равен 45°" является ключевым. Это значит, что только один угол при основании AD равен 90°. Пусть ∠A = 90°. Тогда AB перпендикулярна AD. AB — высота.
13. Шаг 11: В прямоугольной трапеции ABCD, ∠A = 90°. Основания AD и BC параллельны. Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда AB = BH. AD = AB + HD.
14. Шаг 12: В прямоугольном треугольнике BDA, ∠A = 90°. $$BD = 8$$. Угол, образованный диагональю BD и основанием AD, равен 45°. То есть, ∠BDA = 45°.
15. Шаг 13: В прямоугольном треугольнике BDA, так как ∠BDA = 45°, то и ∠ABD = 45°. Треугольник ABD — равнобедренный. AB = AD.
16. Шаг 14: По теореме Пифагора для треугольника BDA: $$AB^2 + AD^2 = BD^2$$. Так как AB = AD, то $$2 \times AB^2 = 8^2 = 64$$. $$AB^2 = 32$$. $$AB = √32 = 4√2$$.
17. Шаг 15: Теперь мы знаем AB = $$4√2$$. Так как AB — высота, и ABCD — прямоугольная трапеция, то AD = AB = $$4√2$$.
18. Шаг 16: Однако, в задаче указано, что меньшее основание равно $$4√3$$. Если AD = $$4√2$$, а $$4√2 ≈ 5.65$$, а $$4√3 ≈ 6.92$$. Значит, BC = $$4√3$$.
19. Шаг 17: Условие "угол А равен 45°" должно быть интерпретировано как угол между диагональю и основанием, или между боковой стороной и основанием. Если это угол между боковой стороной AB и основанием AD, то ∠A = 45°. Но трапеция прямоугольная, значит, один из углов при основании 90°.
20. Шаг 18: Давайте предположим, что ∠D = 90°. Тогда CD перпендикулярна AD и BC. BC = $$4√3$$. BD = 8.
21. Шаг 19: Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. $$CD^2 + BC^2 = BD^2$$. $$CD^2 + (4√3)^2 = 8^2$$. $$CD^2 + (16 \times 3) = 64$$. $$CD^2 + 48 = 64$$. $$CD^2 = 16$$. $$CD = 4$$.
22. Шаг 20: Теперь нужно найти большую боковую сторону. У нас есть CD = 4. AB — другая боковая сторона.
23. Шаг 21: Вернемся к условию "угол А равен 45°". Если ∠D = 90°, то ∠A может быть другим. Если ∠A = 45°, то это угол между боковой стороной AB и основанием AD.
24. Шаг 22: Если ∠A = 90° (что делает трапецию прямоугольной), и ∠BDA = 45°, то AB = AD = $$4√2$$. BC = $$4√3$$. Здесь BC > AD, что противоречит тому, что AD и BC — основания, а BC — меньшее.
25. Шаг 23: Перечитаем условие: "В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 8, а угол А равен 45°". Это значит, что ∠BAD = 45°. И трапеция прямоугольная. Если ∠BAD = 45°, и она прямоугольная, то один из углов при основании AD равен 90°. Либо ∠A = 90°, либо ∠D = 90°.
26. Шаг 24: Если ∠A = 90°, то AB перпендикулярна AD. Тогда ∠BAD = 90°, что противоречит ∠A = 45°. Следовательно, ∠D = 90°.
27. Шаг 25: Итак, ∠D = 90°. CD перпендикулярна AD. BC || AD. AB — боковая сторона. ∠A = 45°.
28. Шаг 26: В прямоугольном треугольнике BCD: $$BC = 4√3$$, $$BD = 8$$. $$CD^2 + BC^2 = BD^2$$. $$CD^2 + (4√3)^2 = 8^2$$. $$CD^2 + 48 = 64$$. $$CD^2 = 16$$. $$CD = 4$$.
29. Шаг 27: Теперь найдем AB. Проведем высоту BH к AD. В прямоугольнике BCDH, BC = HD = $$4√3$$.
30. Шаг 28: В прямоугольном треугольнике ABH, ∠A = 45°. AB — гипотенуза. BH = AB * sin(45°). AH = AB * cos(45°).
31. Шаг 29: AD = AH + HD.
32. Шаг 30: Мы знаем CD = 4. AB — боковая сторона. BC = $$4√3$$ (меньшее основание). AD — большее основание.
33. Шаг 31: Так как CD = 4, и это высота, то AB = 4 (по свойству прямоугольной трапеции, где боковая сторона, не перпендикулярная основаниям, равна высоте, если есть другая перпендикулярная сторона).
34. Шаг 32: Проверим, если AB = 4. Тогда в прямоугольном треугольнике ABH, BH = 4. sin(45°) = BH / AB => sin(45°) = 4 / AB => AB = 4 / sin(45°) = 4 / (1/√2) = $$4√2$$.
35. Шаг 33: Итак, CD = 4. AB = $$4√2$$. $$4√2 ≈ 5.65$$. Значит, AB > CD. Большая боковая сторона — AB.
36. Шаг 34: Проверим, что BC = $$4√3$$ является меньшим основанием. AD = AH + HD. HD = BC = $$4√3$$. AH = AB * cos(45°) = $$4√2 * (1/√2) = 4$$.
37. Шаг 35: AD = AH + HD = $$4 + 4√3$$. $$4√3 ≈ 6.92$$. AD $$≈ 4 + 6.92 = 10.92$$. BC = $$4√3 ≈ 6.92$$.
38. Шаг 36: Основания: AD = $$4 + 4√3$$, BC = $$4√3$$. BC < AD. Значит, BC — меньшее основание.
39. Шаг 37: Боковые стороны: CD = 4, AB = $$4√2$$. $$4√2 ≈ 5.65$$. AB > CD.
40. Шаг 38: Большая боковая сторона — AB = $$4√2$$.
41. Шаг 39: Проверим диагональ BD. В прямоугольном треугольнике BCD: $$BD^2 = BC^2 + CD^2 = (4√3)^2 + 4^2 = 48 + 16 = 64$$. $$BD = 8$$. Это соответствует условию.
42. Шаг 40: Проверим угол А. У нас ∠D = 90°. AB = $$4√2$$. CD = 4. BC = $$4√3$$. AD = $$4 + 4√3$$.
43. Шаг 41: Угол А равен 45°. Для этого нужно, чтобы трапеция была не прямоугольной по определению (два прямых угла при одном основании). Если ABCD — прямоугольная трапеция, то либо ∠A=∠D=90° или ∠B=∠C=90°.
44. Шаг 42: Давайте интерпретируем "прямоугольная трапеция" как имеющая один прямой угол. Пусть ∠D = 90°. Тогда CD — высота.
45. Шаг 43: Если ∠A = 45° и ∠D = 90°, то это не прямоугольная трапеция в строгом смысле. Скорее всего, "прямоугольная" означает, что одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Пусть CD ⊥ AD.
46. Шаг 44: В прямоугольном треугольнике BCD: $$BC = 4√3$$, $$BD = 8$$. $$CD = √(BD^2 - BC^2) = √(8^2 - (4√3)^2) = √(64 - 48) = √16 = 4$$.
47. Шаг 45: Теперь AB. Проведем высоту BH к AD. Тогда BCDH — прямоугольник. HD = BC = $$4√3$$. BH = CD = 4.
48. Шаг 46: В треугольнике ABH: BH = 4, ∠A = 45°. AB — гипотенуза. $$sin(45°) = BH / AB$$. $$AB = BH / sin(45°) = 4 / (1/√2) = 4√2$$.
49. Шаг 47: Боковые стороны: CD = 4, AB = $$4√2$$. $$4√2 ≈ 5.65$$. AB — большая боковая сторона.
50. Шаг 48: Проверим основания. BC = $$4√3$$. AD = AH + HD. AH = AB * cos(45°) = $$4√2 * (1/√2) = 4$$. HD = $$4√3$$. AD = $$4 + 4√3$$.
51. Шаг 49: $$BC = 4√3 ≈ 6.92$$. $$AD = 4 + 4√3 ≈ 4 + 6.92 = 10.92$$. BC < AD, так что BC — меньшее основание.
52. Шаг 50: Таким образом, большая боковая сторона AB = $$4√2$$.

Ответ: Большая боковая сторона равна $$4√2$$.