ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 Код 80002 5 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 234 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Решение.

Краткая запись:

• Расстояние (S): 234 км
• Скорость течения реки (v_теч): 4 км/ч
• Найти: Собственная скорость катера (v_собст) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим скорости катера по течению и против течения.
   Скорость по течению: \( v_{по теч} = v_{собст} + v_{теч} = v_{собст} + 4 \) км/ч.
   Скорость против течения: \( v_{против теч} = v_{собст} - v_{теч} = v_{собст} - 4 \) км/ч.
2. Шаг 2: Выразим время в пути в каждом направлении через формулу \( t = S / v \).
   Время в пути туда (из А в В): \( t_{туда} = \frac{234}{v_{собст} + 4} \) ч.
   Время в пути обратно (из В в А): \( t_{обратно} = \frac{234}{v_{собст} - 4} \) ч.
3. Шаг 3: Составим уравнение, учитывая, что обратный путь занял на 4 часа меньше: \( t_{обратно} = t_{туда} - 4 \).
   \( \frac{234}{v_{собст} - 4} = \frac{234}{v_{собст} + 4} - 4 \)
4. Шаг 4: Решим полученное уравнение.
   Перенесем 4 часа в левую часть:
   \( \frac{234}{v_{собст} - 4} + 4 = \frac{234}{v_{собст} + 4} \)
   Приведем к общему знаменателю:
   \( \frac{234 + 4(v_{собст} - 4)}{v_{собст} - 4} = \frac{234}{v_{собст} + 4} \)
   \( \frac{234 + 4v_{собст} - 16}{v_{собст} - 4} = \frac{234}{v_{собст} + 4} \)
   \( \frac{218 + 4v_{собст}}{v_{собст} - 4} = \frac{234}{v_{собст} + 4} \)
   Перемножим крест-накрест:
   \( (218 + 4v_{собст})(v_{собст} + 4) = 234(v_{собст} - 4) \)
   \( 218v_{собст} + 872 + 4v_{собст}^2 + 16v_{собст} = 234v_{собст} - 936 \)
   \( 4v_{собст}^2 + (218 + 16 - 234)v_{собст} + (872 + 936) = 0 \)
   \( 4v_{собст}^2 + 0v_{собст} + 1808 = 0 \)
   \( 4v_{собст}^2 = -1808 \)
   \( v_{собст}^2 = -452 \)
5. Шаг 5: Анализ результата. Квадрат скорости не может быть отрицательным числом. Это означает, что в условии задачи, возможно, есть ошибка, или необходимо пересмотреть постановку уравнения. Попробуем переформулировать уравнение, если обратный путь занял на 4 часа меньше, то есть время туда больше времени обратно на 4 часа: \( t_{туда} - t_{обратно} = 4 \).
6. Шаг 6: Решим переформулированное уравнение: \( \frac{234}{v_{собст} + 4} - \frac{234}{v_{собст} - 4} = 4 \)
   Вынесем 234 за скобки:
   \( 234 \left( \frac{1}{v_{собст} + 4} - \frac{1}{v_{собст} - 4} \right) = 4 \)
   \( \frac{1}{v_{собст} + 4} - \frac{1}{v_{собст} - 4} = \frac{4}{234} = \frac{2}{117} \)
   Приведем к общему знаменателю:
   \( \frac{(v_{собст} - 4) - (v_{собст} + 4)}{(v_{собст} + 4)(v_{собст} - 4)} = \frac{2}{117} \)
   \( \frac{v_{собст} - 4 - v_{собст} - 4}{v_{собст}^2 - 16} = \frac{2}{117} \)
   \( \frac{-8}{v_{собст}^2 - 16} = \frac{2}{117} \)
   Перемножим крест-накрест:
   \( -8 imes 117 = 2(v_{собст}^2 - 16) \)
   \( -936 = 2v_{собст}^2 - 32 \)
   \( 2v_{собст}^2 = -936 + 32 \)
   \( 2v_{собст}^2 = -904 \)
   \( v_{собст}^2 = -452 \)
7. Шаг 7: Снова получили отрицательное значение для квадрата скорости. Это указывает на то, что задача, скорее всего, имеет некорректные исходные данные. Однако, если предположить, что время в пути туда заняло на 4 часа *больше*, чем обратно (что более логично, так как против течения скорость меньше), то: \( t_{туда} = t_{обратно} + 4 \).
8. Шаг 8: Решим уравнение \( t_{туда} - t_{обратно} = 4 \). Это то же самое уравнение, что и в Шаге 6, которое привело к отрицательному квадрату скорости.
9. Шаг 9: Проверим условия еще раз. Возможно, время