ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 Код 80087 Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МО = 18. Решение.

Решение:

Данная задача относится к разделу геометрии 8 класса.

1. Анализ условия:

• Дано:

  • Окружность с центром O.
  • Касательные MA и MB из точки M.
  • ∠AOB = 120°.
  • MO = 18.

• Найти:

  • Расстояние между точками касания A и B (длина отрезка AB).

2. Геометрические свойства:

• Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания, т.е. ∠MAO = ∠MBO = 90°.
• Треугольники △MAO и △MBO равны (по гипотенузе и острому углу, или по гипотенузе и катету, если учесть, что OA=OB=R).
• △AOB — равнобедренный треугольник (OA = OB = R).
• OM является биссектрисой ∠AOB и ∠AMB.

3. Вычисления:

• В △MAO: ∠MAO = 90°. ∠AOM = ∠AOB / 2 = 120° / 2 = 60°.

• Используем тригонометрию в △MAO:

  • Сос ∠AOM = OA / MO
  • Сос 60° = R / 18
  • 1/2 = R / 18
  • R = 18 / 2 = 9.

• Теперь найдем длину отрезка AB. В равнобедренном △AOB, OM является высотой и медианой к основанию AB (по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника).

  • ∠AOM = 60°.
  • ∠OAM = 90°.
  • ∠AMO = 180° - 90° - 60° = 30°.
  • ∠AOB = 120°.

• В △AOM:

  • AM = MO * Син ∠AOM = 18 * Син 60° = 18 * (√3 / 2) = 9√3.
  • AM = MO * Сос ∠AMO = 18 * Сос 30° = 18 * (√3 / 2) = 9√3.
  • OA = MO * Син ∠AMO = 18 * Син 30° = 18 * (1/2) = 9. (Мы уже нашли R=9).

• Рассмотрим △AOB. Мы знаем OA = OB = 9 и ∠AOB = 120°. Используем теорему косинусов для нахождения AB:

  • AB² = OA² + OB² - 2 * OA * OB * Сос ∠AOB
  • AB² = 9² + 9² - 2 * 9 * 9 * Сос 120°
  • AB² = 81 + 81 - 2 * 81 * (-1/2)
  • AB² = 162 + 81
  • AB² = 243
  • AB = √243 = √(81 * 3) = 9√3.

• Альтернативный способ (через △AOM):

  • В △AOM, AM = 9√3.
  • Так как OM является медианой в △AOB, то AM = MB.
  • AB = AM + MB = 2 * AM = 2 * 9√3 = 18√3.
  • Ошибка в предыдущем рассуждении: OM является медианой, а не AM. AM и MB - это касательные.
  • Правильное рассуждение: В △AOM, ∠OMA = 30°. Точка пересечения OM и AB - пусть будет K. △AKO - прямоугольный, ∠AOK = 60°.
  • AK = OA * Син ∠AOK = 9 * Син 60° = 9 * (√3 / 2).
  • AB = 2 * AK = 2 * 9 * (√3 / 2) = 9√3.

4. Проверка:

• Рассмотрим △AOB. OA=OB=9, ∠AOB = 120°.
• Высота OK делит ∠AOB пополам, т.е. ∠AOK = 60°.
• В △AOK (прямоугольный):
• AK = OA * Син(60°) = 9 * √3/2.
• AB = 2 * AK = 9√3.
• Это совпадает с результатом, полученным через теорему косинусов.

Ответ:

Расстояние между точками касания А и В равно 9√3.