ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 Код 80095 Два автомобиля одновременно отправляются в 612-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 25 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Решение.

Дано:

• Общий пробег: S = 612 км
• Разница в скорости: v₁ = v₂ + 25 км/ч
• Разница во времени: t₂ = t₁ + 3 ч

Найти: Скорость первого автомобиля v₁

Решение:

1. Обозначим переменные:
   Пусть v₂ — скорость второго автомобиля (км/ч).
   Тогда скорость первого автомобиля v₁ = v₂ + 25 (км/ч).
2. Выразим время:
   Время в пути для первого автомобиля: t₁ = S / v₁ = 612 / (v₂ + 25) (ч).
   Время в пути для второго автомобиля: t₂ = S / v₂ = 612 / v₂ (ч).
3. Составим уравнение:
   Мы знаем, что второй автомобиль ехал на 3 часа дольше, поэтому: t₂ = t₁ + 3.
   Подставим выражения для времени:
   \[ \frac{612}{v_2} = \frac{612}{v_2 + 25} + 3 \]
4. Решим уравнение:
   Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на v₂(v₂ + 25):
   \[ 612(v_2 + 25) = 612v_2 + 3v_2(v_2 + 25) \]
   Раскроем скобки:
   \[ 612v_2 + 612 \times 25 = 612v_2 + 3v_2^2 + 75v_2 \]
   Упростим:
   \[ 15300 = 3v_2^2 + 75v_2 \]
   Перенесем все члены в одну сторону:
   \[ 3v_2^2 + 75v_2 - 15300 = 0 \]
   Разделим все на 3:
   \[ v_2^2 + 25v_2 - 5100 = 0 \]
5. Найдем корни квадратного уравнения:
   Используем дискриминант D = b² - 4ac:
   \[ D = 25^2 - 4(1)(-5100) = 625 + 20400 = 21025 \]
   Вычислим корень из дискриминанта:
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{21025} = 145 \]
   Найдем значения v₂:
   \[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
   \[ v_{2,1} = \frac{-25 + 145}{2} = \frac{120}{2} = 60 \]
   \[ v_{2,2} = \frac{-25 - 145}{2} = \frac{-170}{2} = -85 \]
   Так как скорость не может быть отрицательной, v₂ = 60 км/ч.
6. Найдем скорость первого автомобиля:
   v₁ = v₂ + 25 = 60 + 25 = 85 км/ч.

Проверка:

• Скорость первого: 85 км/ч. Время первого: 612 / 85 = 7.2 часа.
• Скорость второго: 60 км/ч. Время второго: 612 / 60 = 10.2 часа.
• Разница во времени: 10.2 - 7.2 = 3 часа. Условие выполнено.

Ответ: 85 км/ч