ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 Код 18 В прямоугольной трапеции АBCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, величина которого равна 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 9√2. Решение. Ответ:

Краткое пояснение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции и биссектрисы угла. Так как диагональ AC является биссектрисой угла A, то угол BAC равен углу CAD. В прямоугольной трапеции AD || BC, поэтому угол BCA равен углу CAD как накрест лежащие. Это означает, что треугольник ABC — равнобедренный.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализ свойств трапеции.
   Дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD || BC, а угол D равен 90°. Диагональ AC является биссектрисой угла A, который равен 45°. Значит, ∠ BAC = ∠ CAD = 45°/2 = 22.5°.
2. Шаг 2: Использование свойства биссектрисы.
   По условию, ∠ BAC = 22.5°. Также, ∠ CAD = 22.5°.
3. Шаг 3: Рассмотрение треугольника ABC.
   Так как AD || BC, то ∠ BCA = ∠ CAD (как накрест лежащие углы). Следовательно, ∠ BCA = 22.5°.
   В треугольнике ABC, ∠ BAC = 22.5° и ∠ BCA = 22.5°. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным с AB = BC.
4. Шаг 4: Определение длины стороны AB.
   По условию, меньшее основание трапеции равно 9√2. В прямоугольной трапеции меньшим основанием обычно является та сторона, которая перпендикулярна основаниям и находится между ними, или верхнее основание. Если BC — меньшее основание, то BC = 9√2. Так как AB = BC, то AB = 9√2.
5. Шаг 5: Рассмотрение треугольника ABD.
   В прямоугольном треугольнике ABD, угол D равен 90°. Стороны равны AB = 9√2 и AD. Нам нужно найти диагональ BD.
6. Шаг 6: Нахождение угла ADB.
   Угол A равен 45°. Угол D равен 90°. Угол C равен 90°. Угол B равен 180° - 45° = 135° (сумма углов трапеции 360°, но это если рассматривать как единую фигуру; в прямоугольной трапеции углы при боковой стороне, не перпендикулярной основаниям, в сумме дают 180°).
7. Шаг 7: Использование тригонометрии для нахождения BD.
   В прямоугольном треугольнике ABD, ∠ A + ∠ ABD + ∠ ADB = 180°. Угол A в трапеции равен 45°. Угол ADB = 90°. Угол ABD = 45°.
   В прямоугольном треугольнике ABD, ∠ DAB = 45°. Следовательно, ∠ ABD = 45°. Треугольник ABD — равнобедренный, AB = BD.
8. Шаг 8: Окончательный расчет.
   Из шага 4, AB = 9√2. Так как AB = BD, то BD = 9√2.

Ответ: 9√2