ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 Код Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ=11.

Решение:

Пусть \(AM\) и \(DM\) — биссектрисы углов \(A\) и \(D\) соответственно. Они пересекаются в точке \(M\) на стороне \(BC\) параллелограмма \(ABCD\).

Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(AD \parallel BC\) и \(AB ∥ DC\). Следовательно, \(AD ∥ BC\) и \(AB = DC\), \(AD = BC\).

По свойству параллелограмма, углы \(A\) и \(D\) являются соседними, поэтому \( ∠A + ∠D = 180^\circ \).

Так как \(AM\) — биссектриса \( ∠A \), то \( ∠BAM = ∠MAD = \frac{1}{2} ∠A \).

Так как \(DM\) — биссектриса \( ∠D \), то \( ∠ADM = ∠MDC = ∠D \).

Рассмотрим треугольник \(ADM\). Угол \( ∠DAM = \frac{1}{2} ∠A \) и угол \( ∠ADM = \frac{1}{2} ∠D \).

Сумма углов треугольника \(ADM\) равна \( ∠DAM + ∠ADM + ∠AMD = 180^\circ \).

Подставим значения углов: \( \frac{1}{2} ∠A + \frac{1}{2} ∠D + ∠AMD = 180^\circ \).

Вынесем \( \frac{1}{2} \) за скобки: \( \frac{1}{2} (∠A + ∠D) + ∠AMD = 180^\circ \).

Мы знаем, что \( ∠A + ∠D = 180^\circ \), поэтому \( \frac{1}{2} (180^\circ) + ∠AMD = 180^\circ \).

\( 90^\circ + ∠AMD = 180^\circ \).

Следовательно, \( ∠AMD = 90^\circ \). Это означает, что треугольник \(ADM\) — прямоугольный.

Теперь рассмотрим накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AM\). Угол \( ∠BAM = ∠AMD \).

Из условия \(AM\) — биссектриса, поэтому \( ∠BAM = ∠DAM = \frac{1}{2} ∠A \). Таким образом, \( ∠DAM = ∠AMD \).

Треугольник \(ADM\) является равнобедренным с основанием \(DM\). Значит, \(AD = DM\).

Аналогично, рассмотрим накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(DM\). Угол \( ∠ADM = ∠D M \).

Так как \(DM\) — биссектриса \( ∠D \), то \( ∠ADM = ∠MDC = \frac{1}{2} ∠D \). Следовательно, \( ∠ADM = ∠D M \).

У нас есть \( ∠AMD = 90^\circ \) и \( ∠ADM = \frac{1}{2} ∠D \). Также \( ∠D + ∠A = 180^\circ \).

Рассмотрим треугольник \(ABM\). \( ∠B = 180^\circ - ∠A \) (как соседние углы параллелограмма).

\( ∠BAM = \frac{1}{2} ∠A \), \( ∠ABM = 180^\circ - ∠A \).

Так как \(AM\) — биссектриса, то \( ∠BAM = ∠MAD \). Также \( ∠MAD = ∠AMB \) (как накрест лежащие углы при \(AD ∥ BC\) и секущей \(AM\)).

В треугольнике \(ABM\): \( ∠AMB = 180^\circ - ∠BAM - ∠ABM = 180^\circ - \frac{1}{2} ∠A - (180^\circ - ∠A) = \frac{1}{2} ∠A \).

Следовательно, \( ∠BAM = ∠AMB = \frac{1}{2} ∠A \). Это означает, что треугольник \(ABM\) — равнобедренный с основанием \(BM\). Значит, \(AB = BM\).

Аналогично, рассмотрим треугольник \(DCM\). \( ∠C = ∠A \) (как противоположные углы параллелограмма).

\( ∠DCM = 180^\circ - ∠C = 180^\circ - ∠A \).

\( ∠CDM = \frac{1}{2} ∠D \).

Так как \(DM\) — биссектриса, то \( ∠ADM = ∠MDC \). Также \( ∠MDC = ∠DMC \) (как накрест лежащие углы при \(AD ∥ BC\) и секущей \(DM\)).

В треугольнике \(DCM\): \( ∠DMC = 180^\circ - ∠CDM - ∠DCM = 180^\circ - \frac{1}{2} ∠D - (180^\circ - ∠C) = 180^\circ - \frac{1}{2} ∠D - ∠A \).

Это не совсем корректно. Вернемся к тому, что \( ∠AMD = 90^\circ \).

По условию, точка \(M\) лежит на стороне \(BC\). Следовательно, \(BM + MC = BC\).

Мы выяснили, что \(AB = BM\) и \(DC = MC\) (аналогично \(AB=BM\), рассматривая \( ∠CDM = \frac{1}{2} ∠D \) и \( ∠DMC = ∠ADM = \frac{1}{2} ∠D \>).

Таким образом, \( BC = BM + MC = AB + DC \).

Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(AB = DC\).

Следовательно, \( BC = AB + AB = 2 ∗ AB \).

Нам дано, что \( AB = 11 \).

Тогда \( BC = 2 ∗ 11 = 22 \).

Периметр параллелограмма \(ABCD\) вычисляется по формуле: \( P = 2(AB + BC) \).

Подставляем значения: \( P = 2(11 + 22) = 2(33) = 66 \).

Ответ: 66.