ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 Код Из точки Мк окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 60°, ΜΑ=10. Решение.

Решение:

• 1. Анализ задачи: Дана окружность с центром О. Из точки М проведены касательные МА и МВ к окружности. Известно, что угол ∠AOB = 60°, где А и В — точки касания, а также длина касательной МА = 10. Требуется найти расстояние между точками касания А и В (длину отрезка АВ).
• 2. Свойства касательных: Радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным (ОА ⊥ МА, ОВ ⊥ МВ). Треугольники ΔМАО и ΔМВО являются прямоугольными.
• 3. Рассмотрение треугольника ΔМАО: Так как МА — касательная, ∠МАО = 90°. В прямоугольном треугольнике ΔМАО, МА = 10. Нам нужно найти длину радиуса ОА.
• 4. Нахождение радиуса ОА: В задаче нам дан угол ∠AOB = 60°. Однако, для нахождения радиуса из ΔМАО, нам бы понадобился угол ∠AOM или ∠AMO. В условии задачи есть ∠AOB = 60°, но это угол, образованный точками касания и центром окружности.
• 5. Рассмотрение четырехугольника МАОВ: Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. ∠МАО = 90°, ∠МВО = 90°. Следовательно, ∠AOB + ∠AMB = 180°. Если ∠AOB = 60°, то ∠AMB = 180° - 60° = 120°.
• 6. Определение радиуса через тригонометрию: В прямоугольном треугольнике ΔМАО, мы можем использовать тангенс угла ∠AOM. Заметим, что треугольник ΔАОВ является равнобедренным, так как ОА = ОВ (радиусы). Угол ∠AOB = 60°, что означает, что ΔАОВ является равносторонним треугольником. Следовательно, ОА = ОВ = АВ.
• 7. Уточнение данных: Если ∠AOB = 60°, то треугольник ΔАОВ равносторонний, и АВ = ОА = ОВ.
• 8. Нахождение радиуса из ΔМАО: В прямоугольном треугольнике ΔМАО, катет МА = 10. Угол ∠AOM является половиной угла ∠AOB, если треугольник ΔМАОВ симметричен относительно МО. Если ΔАОВ равносторонний (∠AOB = 60°), то луч МО делит угол ∠AMB пополам и также является биссектрисой ∠AOB. Значит, ∠AOM = ∠AOB / 2 = 60° / 2 = 30°.
• 9. Расчет радиуса: В прямоугольном треугольнике ΔМАО, tg(∠AOM) = МА / ОА. tg(30°) = 10 / ОА. \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{OA} \). Отсюда, OA = \( 10 \sqrt{3} \).
• 10. Нахождение расстояния АВ: Так как ΔАОВ равносторонний, то АВ = ОА. Следовательно, АВ = \( 10 \sqrt{3} \).
• 11. Альтернативный подход (если ∠AOB не 60): Если бы угол ∠AOB был другим, то OA = MA / tg(∠AOM). Для нахождения ∠AOM, мы бы использовали ∠AMB = 180° - ∠AOB. В ΔМАО, ∠AOM = 90° - ∠AMO.
• 12. Итоговый расчет: На основании условия, ∠AOB = 60°, что делает ΔАОВ равносторонним. Длина касательной МА = 10. В прямоугольном треугольнике ΔМАО, угол ∠AOM = 30°, а катет МА = 10. Радиус ОА = МА / tg(30°) = 10 / (1/√3) = 10√3. Поскольку ΔАОВ равносторонний, АВ = ОА = 10√3.

Ответ: Расстояние между точками касания А и В равно 10√3.