ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 Решите уравнение (x+5)² = (2x+7)². Решение.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Способ 1: Раскрытие скобок
  • Раскроем скобки: \( (x+5)^2 = x^2 + 10x + 25 \) и \( (2x+7)^2 = (2x)^2 + 2 · 2x · 7 + 7^2 = 4x^2 + 28x + 49 \).
  • Приравняем полученные выражения: \( x^2 + 10x + 25 = 4x^2 + 28x + 49 \).
  • Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0: \( 3x^2 + 18x + 24 = 0 \).
  • Разделим обе части на 3 для упрощения: \( x^2 + 6x + 8 = 0 \).
  • Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 · 1 · 8 = 36 - 32 = 4 \).
  • Найдем корни уравнения: \( x_1 = rac{-b + \sqrt{D}}{2a} = rac{-6 + \sqrt{4}}{2 · 1} = rac{-6 + 2}{2} = rac{-4}{2} = -2 \) и \( x_2 = rac{-b - \sqrt{D}}{2a} = rac{-6 - \sqrt{4}}{2 · 1} = rac{-6 - 2}{2} = rac{-8}{2} = -4 \).
• Способ 2: Извлечение квадратного корня
  • Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: \( \sqrt{(x+5)^2} = \sqrt{(2x+7)^2} \).
  • Это дает нам два возможных случая: \( x+5 = 2x+7 \) или \( x+5 = -(2x+7) \).
  • Первый случай: \( x+5 = 2x+7 \)
    • Вычтем \( x \) из обеих частей: \( 5 = x+7 \).
    • Вычтем 7 из обеих частей: \( -2 = x \).
  • Второй случай: \( x+5 = -(2x+7) \)
    • Раскроем скобки: \( x+5 = -2x-7 \).
    • Прибавим \( 2x \) к обеим частям: \( 3x+5 = -7 \).
    • Вычтем 5 из обеих частей: \( 3x = -12 \).
    • Разделим обе части на 3: \( x = -4 \).

Ответ: Корни уравнения: \( x = -2 \) и \( x = -4 \).