ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 12√2. Решение.

Решение:

Дано:

Прямоугольная трапеция ABCD.

AD || BC.

AC - биссектриса \( \angle A \).

\( \angle BAC = \angle CAD = 45^{\circ} \).

\( BC = 12\sqrt{2} \).

Найти:

BD

1. Анализ углов:

Так как AC - биссектриса \( \angle A \), то \( \angle BAC = \angle CAD = 45^{\circ} \).

В прямоугольной трапеции \( \angle DAB = 90^{\circ} \).

\( \angle CAD = 45^{\circ} \) и \( AD \parallel BC \).

\( \angle ACB = \angle CAD = 45^{\circ} \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).

В треугольнике ABC:

\( \angle ABC = 90^{\circ} \) (по условию - прямоугольная трапеция).

\( \angle BAC = 45^{\circ} \).

\( \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник с \( AB = BC \).

2. Нахождение длины AB:

По условию, меньшее основание трапеции равно \( 12\sqrt{2} \). Поскольку AD является большим основанием (так как AC - биссектриса угла при меньшем основании, и если бы BC было большим, то \( \angle BCA = \angle CAD \) было бы больше \( \angle BAC \)), то \( BC = 12\sqrt{2} \).

Так как \( AB = BC \), то \( AB = 12\sqrt{2} \).

3. Анализ диагонали BD:

Рассмотрим треугольник ABD.

\( \angle DAB = 90^{\circ} \).

AB - высота трапеции.

AD - большее основание.

BC - меньшее основание.

В прямоугольной трапеции ABCD, если диагональ AC является биссектрисой угла A, то боковая сторона AB равна меньшему основанию BC. Следовательно, AB = BC = \( 12\sqrt{2} \).

Если AC является биссектрисой угла A, то \( \angle BAC = \angle CAD = 45^{\circ} \). Так как \( \angle DAB = 90^{\circ} \), то \( \angle CAD = 45^{\circ} \).

При параллельных AD и BC, \( \angle ACB = \angle CAD = 45^{\circ} \) (как накрест лежащие).

В \( \triangle ABC \): \( \angle B = 90^{\circ} \), \( \angle BAC = 45^{\circ} \), \( \angle BCA = 45^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle ABC \) - равнобедренный прямоугольный, и \( AB = BC = 12\sqrt{2} \).

Так как \( AB = BC \), то трапеция ABCD является равнобедренной трапецией, в которой \( AB = CD \).

В прямоугольной трапеции ABCD, если AC - биссектриса \( \angle A \), то \( AD = AB + BC \).

\( AD = 12\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \).

Теперь рассмотрим диагональ BD.

В прямоугольном \( \triangle ABD \):

\( AB = 12\sqrt{2} \)

\( AD = 24\sqrt{2} \)

По теореме Пифагора:

\[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \]

\[ BD^2 = (12\sqrt{2})^2 + (24\sqrt{2})^2 \]

\[ BD^2 = 144 \cdot 2 + 576 \cdot 2 \]

\[ BD^2 = 288 + 1152 \]

\[ BD^2 = 1440 \]

\[ BD = \sqrt{1440} = \sqrt{144 \cdot 10} = 12\sqrt{10} \]

Ответ: BD = \( 12\sqrt{10} \).