ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 10, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 5√3.

Решение:

1. Определяем тип трапеции:

   В прямоугольной трапеции ABCD основаниями являются AD и BC. Угол A равен 90°, так как трапеция прямоугольная. Угол при основании AD является прямым.

2. Используем свойства прямоугольной трапеции:

   Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. В прямоугольнике ABCH сторона AH равна BC, а сторона BH равна AB.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Угол ADB = 45° (дано). В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45°, то второй острый угол также равен 45° (90° - 45° = 45°). Следовательно, треугольник BHD является равнобедренным.

3. Находим стороны треугольника BHD:

   В равнобедренном треугольнике BHD, стороны BH и HD равны.

   Диагональ BD = 10 (дано).

   Используем теорему Пифагора для треугольника BHD: BH² + HD² = BD².

   Так как BH = HD, то 2 * BH² = 10².

   2 * BH² = 100.

   BH² = 50.

   BH = √50 = 5√2.

   Следовательно, HD = 5√2.

4. Находим большую боковую сторону:

   В прямоугольной трапеции боковые стороны — это AB и CD.

   AB = BH = 5√2.

   Теперь найдем CD. CD является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой, проведенной из C к AD, и частью основания AD. Однако, проще рассмотреть прямоугольную трапецию ABCD. Мы знаем BC = AH. AD = AH + HD.

   AD = BC + HD.

   Подставим известные значения: AD = 5√3 + 5√2.

   Теперь найдем CD. CD — это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного высотой, опущенной из C на AD (равной AB), и отрезком CD. В прямоугольной трапеции, если мы опустим высоту из C на AD, то получим прямоугольник ABCH и прямоугольный треугольник CDE, где E — точка на AD. DE = AD - BC = 5√3 + 5√2 - 5√3 = 5√2. CE = AB = 5√2. CD² = CE² + DE² = (5√2)² + (5√2)² = 50 + 50 = 100. CD = 10.

   Пересмотр: Угол A = 45°, а не 90°.

5. Перечитываем условие:

   «В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 10, а угол А равен 45°».

   Определение «прямоугольная трапеция» означает, что она имеет прямой угол. Обычно это углы при одном из оснований. Если угол А = 45°, то подразумевается, что углы при основании AB прямые. То есть, AB перпендикулярно AD и AB перпендикулярно BC.

6. Корректируем решение:

   В прямоугольной трапеции ABCD, AB ⊥ AD и AB ⊥ BC. Угол A = 90°, угол B = 90°.

   Условие «угол А равен 45°» противоречит определению «прямоугольной трапеции». Возможно, имелось в виду, что один из углов при основании AD (например, угол при вершине D в треугольнике ABD) равен 45°, или угол при вершине B (при основании BC).

   Предполагаем, что имелся в виду угол при основании AB, равный 90°, и угол при вершине D в треугольнике ABD равен 45°.

   • В прямоугольном треугольнике ABD:

     Угол A = 90°.

     Угол ADB = 45°.

     Следовательно, угол ABD = 180° - 90° - 45° = 45°.

     Треугольник ABD — равнобедренный с AB = AD.

   • Используем диагональ:

     BD = 10.

     В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABD, по теореме Пифагора: AB² + AD² = BD².

     Так как AB = AD, то 2 * AB² = 10² = 100.

     AB² = 50.

     AB = √50 = 5√2.

     AD = AB = 5√2.

   • Находим меньшее основание:

     Меньшее основание равно 5√3 (дано).

     В трапеции ABCD, основания AD и BC. Меньшее основание — это BC = 5√3.

     Но мы получили AD = 5√2. Это противоречие, так как AD должно быть большим основанием, чем BC.

   Возвращаемся к исходной интерпретации, где