ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2. Код 80009. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 60°, MA = 15. Решение.

Решение:

Дано:

• Окружность с центром О.
• Касательные МА и МВ, проведенные из точки М.
• ∠AOB = 60°
• MA = 15

Найти: Расстояние между точками касания А и В (отрезок АВ).

1. Свойства касательных:
• Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны: MA = MB = 15.
• Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: OA ⊥ MA и OB ⊥ MB.
• ∠MAO = ∠MBO = 90°.
2. Рассмотрим четырехугольник MAOB:
• Сумма углов четырехугольника равна 360°.
• ∠AOB + ∠OAM + ∠AMB + ∠OBM = 360°
• 60° + 90° + ∠AMB + 90° = 360°
• ∠AMB = 360° - 60° - 90° - 90° = 120°
3. Рассмотрим треугольник MAO:
• Это прямоугольный треугольник (∠MAO = 90°).
• Известна сторона MA = 15.
• ∠AOM = ∠AOB / 2 = 60° / 2 = 30° (так как треугольник MAOB симметричен относительно прямой МО).
• В прямоугольном треугольнике, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.
• OA (радиус) = MA / tan(30°) = 15 / (1/√3) = 15√3.
• В прямоугольном треугольнике MAO:
• tan(∠AOM) = MA / OA
• tan(30°) = 15 / OA
• 1/√3 = 15 / OA
• OA = 15√3
• MO (гипотенуза) = MA / sin(30°) = 15 / (1/2) = 30.
4. Рассмотрим треугольник OAB:
• Это равнобедренный треугольник, так как OA = OB (радиусы).
• Угол ∠AOB = 60°.
• Так как треугольник равнобедренный и один из углов равен 60°, то он равносторонний.
• Следовательно, AB = OA = OB.
• AB = 15√3.

Ответ: Расстояние между точками касания А и В равно 15√3.