ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2. Найдите значение выражения: \(\sqrt{\frac{30-5\sqrt{6}}{\sqrt{6}}}\)

Решение:

1. Упрощение выражения под корнем:

   Сначала приведем дробь под корнем к более простому виду, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}\):

   \(\frac{30-5\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{(30-5\sqrt{6})\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} = \frac{30\sqrt{6} - 5(\sqrt{6})^2}{6} = \frac{30\sqrt{6} - 5\cdot6}{6} = \frac{30\sqrt{6} - 30}{6}\)

2. Дальнейшее упрощение:

   Вынесем общий множитель 30 в числителе:

   \(\frac{30(\sqrt{6} - 1)}{6}\)
3. Сокращение дроби:

   Сократим дробь на 6:

   \(5(\sqrt{6} - 1)\)
4. Извлечение корня:

   Теперь извлечем квадратный корень из полученного выражения:

   \(\sqrt{5(\sqrt{6} - 1)}\).

   На данном этапе выражение не упрощается дальше без приближенных вычислений.

5. Пересмотр условия:

   Проверим, нет ли ошибки в условии или в наших действиях. В условии было указано \(\sqrt{\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}}\). Проведем вычисления для этого выражения.

6. Упрощение выражения под корнем:

   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю \(4-\sqrt{6}\), то есть на \(4+\sqrt{6}\):

   \(\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}} = \frac{(30-5\sqrt{6})(4+\sqrt{6})}{(4-\sqrt{6})(4+\sqrt{6})}\)
7. Вычисление числителя:

   \((30-5\sqrt{6})(4+\sqrt{6}) = 30\cdot4 + 30\cdot\sqrt{6} - 5\sqrt{6}\cdot4 - 5\sqrt{6}\cdot\sqrt{6} = 120 + 30\sqrt{6} - 20\sqrt{6} - 5\cdot6 = 120 + 10\sqrt{6} - 30 = 90 + 10\sqrt{6}\)

8. Вычисление знаменателя:

   \((4-\sqrt{6})(4+\sqrt{6}) = 4^2 - (\sqrt{6})^2 = 16 - 6 = 10\)

9. Подстановка обратно в дробь:

   \(\frac{90 + 10\sqrt{6}}{10} = \frac{10(9 + \sqrt{6})}{10} = 9 + \sqrt{6}\)

10. Извлечение корня:

    Теперь извлечем корень из \(9 + \sqrt{6}\). Это выражение также не упрощается в стандартном виде. Проверим условие еще раз. Видимо, условие было \(\sqrt{\frac{30-5\sqrt{6}}{\sqrt{6}}}\), как предполагалось изначально. В таком случае, ответ: \(\sqrt{5(\sqrt{6}-1)}\).

11. Возвращение к первому варианту решения (предполагая, что в знаменателе не \(4-\sqrt{6}\) а \(\sqrt{6}\)):

    Если выражение \(\sqrt{\frac{30-5\sqrt{6}}{\sqrt{6}}}\), то:

    \(\sqrt{\frac{30}{\sqrt{6}} - \frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{6}}} = \sqrt{\frac{30\sqrt{6}}{6} - 5} = \sqrt{5\sqrt{6} - 5} = \sqrt{5(\sqrt{6}-1)}\).
12. Проверка условия задания:

    На изображении четко видно, что в знаменателе стоит \(4-\sqrt{6}\), а не \(\sqrt{6}\).

13. Финальный расчет с правильным знаменателем:

    Мы получили, что под корнем находится \(9 + \sqrt{6}\). Извлечь \(\sqrt{9+\sqrt{6}}\), не упрощая, невозможно. Возможно, в задании имелось в виду выражение, которое приводит к полному квадрату.

14. Предположение о опечатке в задании:

    Если предположить, что в числителе было \(30+5\sqrt{6}\) или \(30-10\sqrt{6}\) и т.д., то можно было бы получить полный квадрат.

15. Примем условие как есть и дадим ответ:

    Значение выражения равно \(\sqrt{9 + \sqrt{6}}\).

16. Перепроверка по вырезам:

    На вырезанном изображении видно \(\sqrt{\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}}\).

17. Финальный ответ:

    После упрощения дроби под корнем получаем \(9 + \sqrt{6}\). Таким образом, значение выражения равно \(\sqrt{9 + \sqrt{6}}\).

18. Возможно, имелось в виду:\(\sqrt{\frac{30-5\sqrt{24}}{4-\sqrt{6}}}\) или \(\sqrt{\frac{30-10\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}}\). В первом случае: \(\sqrt{\frac{30-10\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}} = \sqrt{\frac{10(3-\sqrt{6})}{4-\sqrt{6}}}\) - тоже не упрощается.
19. Если предположить, что числитель равен \(10(9-\sqrt{6})\) или \(10(9+\sqrt{6})\), то: \(\sqrt{\frac{10(9-\sqrt{6})}{10}} = \sqrt{9-\sqrt{6}}\), \(\sqrt{\frac{10(9+\sqrt{6})}{10}} = \sqrt{9+\sqrt{6}}\).
20. Вернемся к первому варианту решения:\(\sqrt{\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}}\). Мы получили \(\sqrt{9 + \sqrt{6}}\).
21. Повторим вычисления:

• Числитель: \((30-5\sqrt{6})(4+\sqrt{6}) = 120 + 30\sqrt{6} - 20\sqrt{6} - 30 = 90 + 10\sqrt{6}\)
• Знаменатель: \((4-\sqrt{6})(4+\sqrt{6}) = 16-6=10\)
• Дробь: \(\frac{90+10\sqrt{6}}{10} = 9+\sqrt{6}\)
• Корень: \(\sqrt{9+\sqrt{6}}\).

Ответ: $$\sqrt{9+\sqrt{6}}$$