ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 13 Решите уравнение x² - 4x + 4 = (2x−7)². Решение.

Решение:

У нас есть уравнение: \[ x^2 - 4x + 4 = (2x - 7)^2 \]

Сначала раскроем скобки справа. Помнишь формулу квадрата разности \[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]? Применим ее:

\[ (2x - 7)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 7 + 7^2 = 4x^2 - 28x + 49 \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 28x + 49 \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида \[ ax^2 + bx + c = 0 \]. Удобнее перенести влево, но можно и вправо, чтобы коэффициент при \[ x^2 \] был положительным.

\[ 0 = 4x^2 - x^2 - 28x + 4x + 49 - 4 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ 0 = 3x^2 - 24x + 45 \]

Чтобы упростить, разделим всё уравнение на 3:

\[ 0 = x^2 - 8x + 15 \]

Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение. Его можно решить двумя способами: через дискриминант или по теореме Виета. Давай используем теорему Виета, она проще для этого случая.

По теореме Виета для уравнения \[ x^2 + px + q = 0 \], сумма корней равна \[ x_1 + x_2 = -p \], а произведение корней равно \[ x_1 \cdot x_2 = q \].

В нашем случае \[ p = -8 \] и \[ q = 15 \].

Ищем два числа, которые в сумме дают 8 (\[ -(-8) \]), а в произведении дают 15.

Такие числа — это 3 и 5.

Проверим: \[ 3 + 5 = 8 \] и \[ 3 \cdot 5 = 15 \]. Все верно!

Значит, корни уравнения: \[ x_1 = 3 \] и \[ x_2 = 5 \].

Ответ: x = 3, x = 5