ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 18 Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 2. Решение. 18

Решение:

1. Свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны параллельны и равны: $$AB = CD$$, $$BC = AD$$.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $$180^°$$.

2. Свойства биссектрисы:

• Биссектриса делит угол пополам.
• Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

3. Анализ задачи:

• Пусть $$AM$$ — биссектриса $$\angle A$$, $$DM$$ — биссектриса $$\angle D$$.
• $$AM$$ и $$DM$$ пересекаются в точке $$M$$ на стороне $$BC$$.
• Поскольку $$AB ∥ CD$$, то $$\angle A + \angle D = 180^°$$.
• Сумма половин углов: $$\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle D}{2} = \frac{180^°}{2} = 90^°$$.
• В треугольнике $$ADM$$, $$\angle DAM + \angle ADM = 90^°$$. Следовательно, $$\angle AMD = 180^° - 90^° = 90^°$$.
• Так как $$AM$$ — биссектриса $$\angle A$$, то $$\angle BAM = \angle DAM$$.
• Так как $$DM$$ — биссектриса $$\angle D$$, то $$\angle ADM = \angle CDM$$.
• $$AB ∥ BC$$. Рассмотрим секущую $$AM$$. $$\angle BAM = \angle AMB$$ (как накрест лежащие углы).
• Следовательно, $$\triangle ABM$$ — равнобедренный, $$AB = BM$$.
• $$AD ∥ BC$$. Рассмотрим секущую $$DM$$. $$\angle ADM = \angle DMC$$ (как накрест лежащие углы).
• Следовательно, $$\triangle CDM$$ — равнобедренный, $$CD = CM$$.

4. Вычисления:

• По условию $$AB = 2$$.
• Так как $$AB = BM$$, то $$BM = 2$$.
• В параллелограмме $$ABCD$$, $$AB = CD$$. Следовательно, $$CD = 2$$.
• Так как $$CD = CM$$, то $$CM = 2$$.
• Сторона $$BC = BM + CM = 2 + 2 = 4$$.
• В параллелограмме $$ABCD$$, $$BC = AD$$. Следовательно, $$AD = 4$$.
• Периметр параллелограмма $$ABCD$$ равен $$2(AB + BC)$$.
• Периметр = $$2(2 + 4) = 2 \times 6 = 12$$.

Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 12.