ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 80027 Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если LAOB = 120° и МО = 20.

Решение:

Дан отрезок МО = 20. Угол \( \angle AOB = 120^{\circ} \).

Так как МА и МВ — касательные к окружности, то \( OA \perp MA \) и \( OB \perp MB \). Следовательно, \( \angle OAM = \angle OBM = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырехугольник \( OAMB \). Сумма углов четырехугольника равна \( 360^{\circ} \). Поэтому \( \angle AMB = 360^{\circ} - \angle OAM - \angle OBM - \angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Треугольник \( \triangle AOB \) — равнобедренный, так как \( OA = OB \) (радиусы окружности). Углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle OAM \), \( \angle OMA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OAM \). \( OA \) — катет, противолежащий углу \( \angle OMA = 60^{\circ} \). \( MO \) — гипотенуза.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

\( \sin(\angle OMA) = \frac{OA}{MO} \)

\( OA = MO \cdot \sin(\angle OMA) = 20 \cdot \sin(60^{\circ}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OMA \). \( AM \) — катет, прилежащий к углу \( \angle OMA = 60^{\circ} \).

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

\( \cos(\angle OMA) = \frac{AM}{MO} \)

\( AM = MO \cdot \cos(\angle OMA) = 20 \cdot \cos(60^{\circ}) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \).

Так как \( MA = MB \) (касательные, проведенные из одной точки), то \( MB = 10 \).

Треугольник \( \triangle AMB \) — равнобедренный с \( AM = MB = 10 \) и углом \( \angle AMB = 60^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle AMB \) — равносторонний.

\( AB = AM = MB = 10 \).

Ответ: 10.