ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 18 В прямоугольной трапеции АBCD c основаниями AD и BC диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 7√2. Решение.

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD.
• Основания: AD и BC.
• AC — биссектриса угла A.
• ∠A = 45°.
• Меньшее основание BC = 7√2.

Найти:

• Длину диагонали BD.

Решение:

1. В прямоугольной трапеции углы при боковой стороне, перпендикулярной основаниям (углы B и C), равны 90°.

2. Так как AC — биссектриса угла A, то ∠BAC = ∠CAD = 45° / 2 = 22.5°.

   Однако, в условии указано, что угол A равен 45°, и AC является его биссектрисой. Это означает, что ∠BAC = ∠CAD = 45°/2 = 22.5°.

   Важное уточнение: Если в задаче сказано, что угол A равен 45°, и AC является его биссектрисой, то ∠BAC = ∠CAD = 45°/2 = 22.5°.

   Перечитываем условие: «угол А, равного 45°». Это означает, что весь угол A равен 45°.

   Корректируем: ∠A = 45°. AC — биссектриса ∠A. Значит, ∠BAC = ∠CAD = 45° / 2 = 22.5°.

   Противоречие в условии: Обычно в прямоугольной трапеции угол при основании равен 90° или острый. Если трапеция прямоугольная, то ∠B = ∠C = 90°. Если ∠A = 45°, то ∠D = 90°.

   Давайте предположим, что имелась в виду другая формулировка, либо задача имеет ошибку в условии.

   Возможная трактовка: Если AC является биссектрисой угла A, и этот угол A равен 45°, то ∠BAC = ∠CAD = 22.5°.

   Рассмотрим другой вариант, который чаще встречается в задачах: Пусть ∠A = 90°, и AC — биссектриса. Это невозможно, так как биссектриса делит угол пополам. Если ∠A = 90°, то ∠BAC = 45°.

   Вернемся к тексту: «В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла А, равного 45°».

   Предположение 1: Угол A = 90°, и AC — биссектриса, т.е. ∠BAC = 45°.

   Предположение 2: Угол A = 45°, и AC — биссектриса, т.е. ∠BAC = 22.5°.

   Рассмотрим случай, когда ∠A = 90° и AC — биссектриса (∠BAC = 45°).

   • В прямоугольном треугольнике ABC (∠B = 90°), ∠BAC = 45°, значит ∠BCA = 45°. Треугольник ABC — равнобедренный, AB = BC = 7√2.
   • Так как трапеция прямоугольная, ∠D = 90°.
   • В прямоугольном треугольнике ADC (∠D = 90°), ∠CAD = 45°. Значит, ∠ACD = 45°. Треугольник ADC — равнобедренный, AD = CD.
   • AD = BC + CD = 7√2 + CD.
   • По теореме Пифагора в △ADC: AC² = AD² + CD² = (7√2 + CD)² + CD².
   • Найдем AC из △ABC: AC² = AB² + BC² = (7√2)² + (7√2)² = 2 * (49 * 2) = 196. AC = 14.
   • 196 = (7√2 + CD)² + CD².
   • Это усложняет задачу, возможно, есть проще путь.

   Рассмотрим случай, когда ∠A = 45°, и AC — биссектриса (∠BAC = 22.5°, ∠CAD = 22.5°).

   • В прямоугольном △ABC (∠B = 90°): ∠BAC = 22.5°. Тогда ∠BCA = 90° - 22.5° = 67.5°.
   • ∠A = 45°, ∠B = 90°, ∠C = 90°, ∠D = 90°. Это прямоугольная трапеция.
   • ∠BAD = 45°.
   • AC — биссектриса ∠A.
   • ∠CAD = ∠BAC = 45° / 2 = 22.5°.
   • Так как BC || AD, то ∠BCA = ∠CAD = 22.5° (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AC).
   • В △ABC: ∠ABC = 90°, ∠BAC = 22.5°, ∠BCA = 180° - 90° - 22.5° = 67.5°.
   • Это противоречит тому, что ∠BCA = 22.5°.

   Предположение, что угол A, где проводится биссектриса, не является углом трапеции. Но тогда условие «прямоугольной трапеции» не используется полностью.

   Наиболее вероятная трактовка условия, которая приводит к решаемой задаче:

   1. Трапеция прямоугольная: ∠B = ∠C = 90°.

   2. Основания AD и BC. AD > BC. BC = 7√2.

   3. Диагональ AC является биссектрисой угла A.

   4. Угол A, биссектрисой которого является AC, равен 45°. Это означает ∠A = 45°.

   Если ∠A = 45°, а трапеция прямоугольная, то ∠D = 90°.

   Значит, ∠BAC = ∠CAD = 45° / 2 = 22.5°.

   Из параллельности BC || AD и секущей AC следует, что ∠BCA = ∠CAD = 22.5°.

   Рассмотрим △ABC. ∠ABC = 90°. ∠BAC = 22.5°. ∠BCA = 180° - 90° - 22.5° = 67.5°.

   Это противоречие. ∠BCA не может быть одновременно 22.5° и 67.5°.

   Пересмотр условий:

   Очень часто в задачах под «углом А» подразумевают один из углов трапеции. Если трапеция прямоугольная, то ∠B=∠C=90°. Это значит, что углы A и D могут быть острыми или прямыми.

   Если ∠A = 45°, то ∠D = 90° (поскольку трапеция прямоугольная, а сумма углов трапеции 360, ∠A + ∠D = 180° не выполняется, если ∠B=∠C=90°).

   В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, ∠B = ∠C = 90°.

   Пусть ∠BAD = 45°. Тогда ∠ADC = 90°.

   AC — биссектриса ∠BAD. Следовательно, ∠BAC = ∠CAD = 45° / 2 = 22.5°.

   В △ABC, ∠ABC = 90°, ∠BAC = 22.5°. Тогда ∠BCA = 180° - 90° - 22.5° = 67.5°.

   Из параллельности BC || AD и секущей AC, ∠BCA = ∠CAD (накрест лежащие).

   Значит, 67.5° = 22.5°. Это неверно.

   Предполагаем, что в задаче была опечатка и угол, биссектрисой которого является AC, это угол при основании A, и он равен 45°, но не весь угол A, а, например, ∠BAC=45°.

   Если ∠BAC = 45°, а ∠B = 90°, то △ABC — прямоугольный равнобедренный треугольник. AB = BC = 7√2.

   Теперь ∠CAD. Поскольку AC — биссектриса ∠A, то ∠CAD = ∠BAC = 45°. Таким образом, ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 45° + 45° = 90°.

   Это соответствует тому, что трапеция прямоугольная, и ∠A = 90°.

   Итак, принимаем: ∠B = ∠C = 90°, ∠A = 90°, ∠D = 90°. Это прямоугольник, а не трапеция.

   Если это трапеция, то ∠D + ∠A = 180° или ∠B + ∠C = 180°, что не выполняется для прямоугольной трапеции (∠B=∠C=90°).

   В прямоугольной трапеции, ∠B=∠C=90°. Углы A и D - односторонние, их сумма 180°.

   Если ∠A = 45°, то ∠D = 180° - 45° = 135°. Но трапеция прямоугольная, поэтому ∠D = 90°.

   Это означает, что ∠A = 90°.

   Если ∠A = 90° и AC — биссектриса, то ∠BAC = ∠CAD = 45°.

   В △ABC: ∠B = 90°, ∠BAC = 45°. Тогда △ABC — прямоугольный равнобедренный треугольник. AB = BC = 7√2.

   В △ADC: ∠D = 90°, ∠CAD = 45°. Тогда △ADC — прямоугольный равнобедренный треугольник. AD = CD.

   Теперь найдем AD. AD = BC + CD = 7√2 + CD.

   Диагональ AC: AC² = AB² + BC² = (7√2)² + (7√2)² = 2 * (49 * 2) = 196. AC = 14.

   В △ADC: AC² = AD² + CD². 14² = (7√2 + CD)² + CD².

   196 = (7√2)² + 2 * 7√2 * CD + CD² + CD².

   196 = 98 + 14√2 * CD + 2CD².

   2CD² + 14√2 * CD - 98 = 0.

   CD² + 7√2 * CD - 49 = 0.

   Это квадратное уравнение относительно CD. Решим его:

   ∆ = (7√2)² - 4 * 1 * (-49) = 98 + 196 = 294.

   √∆ = √294 = √(49 * 6) = 7√6.

   CD =  (-7√2 ± 7√6) / 2.

   Так как CD > 0, то CD = (7√6 - 7√2) / 2.

   AD = BC + CD = 7√2 + (7√6 - 7√2) / 2 = (14√2 + 7√6 - 7√2) / 2 = (7√2 + 7√6) / 2.

   Теперь нужно найти BD.

   В △ABD: ∠B = 90°. BD² = AD² - AB².

   AB = 7√2.

   AD = (7√2 + 7√6) / 2.

   AD² =  (7√2 + 7√6)² / 4 = 49 * (2 + 2√12 + 6) / 4 = 49 * (8 + 4√3) / 4 = 49 * (2 + √3).

   AB² = (7√2)² = 98.

   BD² = 49 * (2 + √3) - 98 = 98 + 49√3 - 98 = 49√3.

   BD = √(49√3) = 7 √(√3) = 7 * 3⁰.⁵ = 7 * 3^(1/4).

   Давайте попробуем проще.

   Если AC — биссектриса ∠A, то ∠BAC = ∠CAD.

   В прямоугольной трапеции ∠B = ∠C = 90°.

   BC || AD.

   ∠BCA = ∠CAD (накрест лежащие).

   Значит, ∠BAC = ∠BCA.

   Это означает, что △ABC — равнобедренный с AB = BC.

   По условию BC = 7√2, значит AB = 7√2.

   Далее, ∠A = 45°. Это угол трапеции.

   Так как трапеция прямоугольная, ∠B = 90°, ∠C = 90°.

   Сумма углов трапеции 360°. ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

   45° + 90° + 90° + ∠D = 360°.

   ∠D = 360° - 225° = 135°.

   Но в прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне, не являющейся перпендикуляром к основаниям, должен быть 90°. Если AB перпендикулярно основаниям, то ∠A = 90°, ∠B = 90°. Если CD перпендикулярно основаниям, то ∠C = 90°, ∠D = 90°.

   В задаче сказано «прямоугольной трапеции». Это значит, что одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Обычно подразумевается, что это CD или AB. Если это AB, то ∠A = 90° и ∠B = 90°. Если это CD, то ∠C = 90° и ∠D = 90°.

   Пусть боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC. Тогда ∠A = 90° и ∠B = 90°.

   AC — биссектриса ∠A, значит ∠BAC = ∠CAD = 90°/2 = 45°.

   В △ABC: ∠B = 90°, ∠BAC = 45°. Следовательно, △ABC — прямоугольный равнобедренный. AB = BC = 7√2.

   BC || AD. AC — секущая. ∠BCA = ∠CAD (накрест лежащие).

   ∠CAD = 45°. Значит, ∠BCA = 45°.

   Проверим △ABC: ∠ABC = 90°, ∠BAC = 45°, ∠BCA = 45°. Сумма углов = 180°. Это верно.

   Теперь найдем AD. В △ADC: ∠D = 90°. ∠CAD = 45°. Значит, △ADC — прямоугольный равнобедренный. AD = CD.

   BC = 7√2. AB = 7√2.

   AD = BC + CD = 7√2 + CD.

   Так как AD = CD, то 7√2 + CD = CD, что невозможно.

   Это значит, что боковая сторона, перпендикулярная основаниям, — это CD, а не AB.

   Итак, ∠C = 90°, ∠D = 90°.

   ∠A + ∠B = 180°.

   AC — биссектриса ∠A.

   ∠BAC = ∠CAD.

   BC || AD. AC — секущая. ∠BCA = ∠CAD.

   Значит, ∠BAC = ∠BCA.

   △ABC — равнобедренный с AB = BC = 7√2.

   Также ∠A = 45°.

   В △ABC: ∠B = 180° - ∠A = 180° - 45° = 135°? Нет, это не так. ∠B и ∠A — односторонние углы, если AB — боковая сторона.

   Уточняем: прямоугольная трапеция ABCD, основания AD и BC. Это значит, что одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Пусть это CD. Тогда ∠C = 90°, ∠D = 90°.

   AC — биссектриса ∠A. ∠BAC = ∠CAD.

   BC || AD. ∠BCA = ∠CAD (накрест лежащие).

   Следовательно, ∠BAC = ∠BCA. △ABC — равнобедренный, AB = BC = 7√2.

   По условию, ∠A = 45°.

   В △ABC: ∠B = 180° - ∠A = 180° - 45° = 135°? Нет, ∠A и ∠B — односторонние при параллельных AD и BC и секущей AB. Их сумма = 180°.

   Значит, ∠B = 180° - 45° = 135°.

   Но △ABC — равнобедренный с AB=BC. Если ∠A = 45°, то ∠BAC = 45°? Нет, ∠BAC = ∠BCA.

   Если ∠A = 45°, и AC — биссектриса, то ∠BAC = ∠CAD = 22.5°.

   ∠BCA = ∠CAD = 22.5°.

   В △ABC: ∠ABC = 180° - ∠A = 180° - 45° = 135°? Нет. ∠A и ∠B — односторонние, если AB — боковая сторона.

   Если CD — перпендикулярная боковая сторона, то ∠C=90°, ∠D=90°.

   ∠A + ∠B = 180°.

   ∠A = 45°.

   ∠B = 180° - 45° = 135°.

   AC — биссектриса ∠A. ∠BAC = ∠CAD = 22.5°.

   ∠BCA = ∠CAD = 22.5° (накрест лежащие).

   В △ABC: ∠ABC = 135°, ∠BAC = 22.5°, ∠BCA = 22.5°? Сумма = 135 + 22.5 + 22.5 = 180°. Верно.

   Из △ABC: AB = BC = 7√2 (так как ∠BAC = ∠BCA).

   Теперь найдем AD.

   В △ADC: ∠D = 90°. ∠CAD = 22.5°.

   CD = AB = 7√2.

   AD = BC + CD = 7√2 + 7√2 = 14√2.

   Теперь найдем BD.

   В △ABD: ∠B = 90°? Нет, ∠B = 135°.

   В △BCD: ∠C = 90°. BC = 7√2, CD = 7√2.

   BD² = BC² + CD² = (7√2)² + (7√2)² = 2 * (49 * 2) = 196.

   BD = √196 = 14.

3. Проверка:

   • Трапеция ABCD, основания AD || BC.
   • CD ⊥ AD, CD ⊥ BC. ∠C = ∠D = 90°.
   • ∠A = 45°. ∠B = 180° - 45° = 135°.
   • AC — биссектриса ∠A. ∠BAC = ∠CAD = 22.5°.
   • ∠BCA = ∠CAD = 22.5° (накрест лежащие).
   • В △ABC: ∠BAC = 22.5°, ∠BCA = 22.5°, ∠ABC = 135°. Сумма углов 180°.
   • △ABC — равнобедренный: AB = BC = 7√2.
   • CD = AB = 7√2.
   • AD = BC + CD = 7√2 + 7√2 = 14√2.
   • △BCD — прямоугольный (∠C=90°). BC=7√2, CD=7√2.
   • BD = √(BC² + CD²) = √((7√2)² + (7√2)²) = √(98 + 98) = √196 = 14.
   • Все верно.

Ответ: 14