ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 Код Из точки Мк окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МО=16. Решение.

Краткое пояснение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных, проведенных из одной точки к окружности, и тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пошаговое решение:

1. Свойства касательных: Касательные МА и МВ, проведенные из точки М к окружности с центром О, равны (МА = МВ). Также, отрезки ОА и ОВ являются радиусами окружности и перпендикулярны касательным в точках касания (∠МАО = ∠МВО = 90°).
2. Рассмотрим треугольник МОА: Он является прямоугольным, так как ОА ⊥ МА. В этом треугольнике известно, что МО = 16 (гипотенуза).
3. Угол ∠AOB: Дано, что ∠AOB = 120°. Отрезок МО является биссектрисой угла ∠AMB и угла ∠AOB (из свойств симметрии). Следовательно, ∠AOM = ∠BOM = ∠AOB / 2 = 120° / 2 = 60°.
4. Найдем радиус ОА: В прямоугольном треугольнике МОА, зная гипотенузу МО и угол ∠AOM, можем найти катет ОА. Используем синус угла: \( \sin(\angle AOM) = \frac{OA}{MO} \)
5. Вычисление радиуса: \( \sin(60°) = \frac{OA}{16} \)
6. Значение синуса 60°: \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
7. Решаем уравнение для ОА: \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{OA}{16}\)
   \( OA = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \) см.
8. Найдем длину касательной МА: Используем косинус угла ∠AOM: \( \cos(\angle AOM) = \frac{MA}{MO}\)
   \( \cos(60°) = \frac{MA}{16}\)
   \( \cos(60°) = \frac{1}{2}\)
   \( \frac{1}{2} = \frac{MA}{16}\)
   \( MA = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \) см.
9. Рассмотрим треугольник МАВ: Он равнобедренный (МА = МВ = 8 см). Нам нужно найти основание АВ.
10. Найдем угол ∠AMB: Сумма углов в четырехугольнике МАОВ равна 360°. \( \angle AMB = 360° - \angle MAO - \angle MBO - \angle AOB\)
    \( \angle AMB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°\)
11. Угол ∠AMO: Так как МО — биссектриса ∠AMB, то ∠AMO = ∠AMB / 2 = 60° / 2 = 30°.
12. Найдем АВ через треугольник МАВ: Можно использовать теорему косинусов или найти высоту, которая будет биссектрисой и медианой. Проведем высоту из О к АВ, она пересечет АВ в точке Р. Треугольник МОА прямоугольный, и отрезок ОР будет высотой в треугольнике АОВ, а также биссектрисой угла ∠AOB.
13. Рассмотрим треугольник АОР: Он прямоугольный. ∠AOR = 60°, ОА = \( 8\sqrt{3} \).
14. Найдем АР: \( \sin(\angle AOR) = \frac{AP}{OA}\)
    \( \sin(60°) = \frac{AP}{8\sqrt{3}}\)
    \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AP}{8\sqrt{3}}\)
    \( AP = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12 \) см.
15. Расстояние АВ: Так как Р — середина АВ, то \( AB = 2 \cdot AP\).
    \( AB = 2 \cdot 12 = 24 \) см.

Ответ: 24 см