ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 Код Порядковый № класса ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 18 В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 10√2. Решение.

Решение:

1. Построение чертежа:

   Изобразим прямоугольную трапецию ABCD, где AD || BC, ∠A = ∠D = 90°. AC — биссектриса угла A.

2. Свойства биссектрисы и трапеции:

   Так как AC — биссектриса ∠A, то ∠BAC = ∠CAD = 45°.

   Поскольку AD || BC, то ∠BCA = ∠CAD (как накрест лежащие углы). Следовательно, ∠BCA = 45°.

3. Анализ треугольника ABC:

   В треугольнике ABC углы ∠B = 90° (по условию, трапеция прямоугольная) и ∠BCA = 45°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠BAC = 180° - 90° - 45° = 45°.

   Так как в треугольнике ABC два угла равны (∠BAC = ∠BCA = 45°), то треугольник ABC — равнобедренный. Следовательно, BC = AB.

4. Определение длины стороны AB:

   По условию, меньшее основание трапеции равно 10√2. Так как AD || BC и ∠A = ∠D = 90°, то AD — большее основание, а BC — меньшее. Следовательно, BC = 10√2.

   Из равнобедренности треугольника ABC следует, что AB = BC = 10√2.

5. Анализ треугольника ACD:

   В треугольнике ACD ∠D = 90°.

   Угол ∠CAD = 45° (так как AC — биссектриса ∠A).

   Угол ∠ADC = 90°.

   Следовательно, ∠ACD = 180° - 90° - 45° = 45°.

   Так как в треугольнике ACD два угла равны (∠CAD = ∠ACD = 45°), то треугольник ACD — равнобедренный. Следовательно, AD = CD.

6. Определение длины стороны AD:

   AB является высотой трапеции, так как ∠A = ∠B = 90°. В прямоугольной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла (B), равна меньшему основанию (BC), если углы при большем основании прямые. В данном случае AB является высотой и равно BC. Значит AB = 10√2.

   В прямоугольной трапеции ABCD, если AC — биссектриса угла A, то CD = AD - BC. Однако, в равнобедренном треугольнике ACD, AD = CD. Это возможно только если ABCD - квадрат. В таком случае AB = BC = CD = AD. Но по условию AD и BC — основания, то есть они параллельны, но не обязательно равны.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. У нас есть ∠ADC = 90°, ∠CAD = 45°. Следовательно, ∠ACD = 45°. Треугольник ACD — равнобедренный прямоугольный треугольник, где катеты равны: AD = CD.

   Мы знаем, что AB — высота, и AB = BC = 10√2. В прямоугольной трапеции, если AC — биссектриса угла A, то CD = AD - BC. Но это не так. CD является боковой стороной, и она перпендикулярна основаниям, то есть CD = AB.

   Таким образом, CD = AB = 10√2. Так как треугольник ACD прямоугольный и равнобедренный, то AD = CD = 10√2.

7. Определение длины диагонали BD:

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. У нас есть катеты AB = 10√2 и AD = 10√2.

   По теореме Пифагора:

   BD² = AB² + AD²

   BD² = (10√2)² + (10√2)²

   BD² = (100 * 2) + (100 * 2)

   BD² = 200 + 200

   BD² = 400

   BD = √400

   BD = 20

Ответ: 20