ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 8. Часть 2 Найдите значение выражения \sqrt{2\sqrt{5}+6-\sqrt{5}}. Решение.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем подкоренное выражение. Сгруппируем члены с \(\sqrt{5}\):
   \( 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5} \)
   Таким образом, выражение под корнем становится: \( \sqrt{5} + 6 \).
2. Шаг 2: Перепишем выражение под корнем, пытаясь представить его в виде квадрата суммы. Цель — найти два числа, сумма которых равна 6, и удвоенное произведение которых равно \(\sqrt{5}\). Это не представляется возможным в стандартном виде.
3. Шаг 3: Проверим условие на возможную опечатку или упростим иначе. Если предположить, что выражение должно быть \(\sqrt{ (a+b)^2 } = a+b \) или \(\sqrt{ (a-b)^2 } = |a-b| \).
   Рассмотрим подкоренное выражение \(\sqrt{2\sqrt{5}+6-\sqrt{5}} = \sqrt{6+\sqrt{5}}\).
   Попробуем представить \( 6+\sqrt{5} \) в виде \( (a+b\sqrt{c})^2 \).
   \( (a+b\sqrt{5})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{5} + 5b^2 \).
   Сравнивая с \( 6+\sqrt{5} \), мы не можем подобрать такие целые a и b, чтобы \( 2ab = 1 \) и \( a^2 + 5b^2 = 6 \).
4. Шаг 4: Возможно, выражение является частью более сложной формулы упрощения радикалов вида \( \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-C}{2}} \), где \( C = \sqrt{A^2 - B} \).
   В нашем случае, \( \sqrt{6+\sqrt{5}} \). Здесь \( A=6 \) и \( B=5 \).
   \( C = \sqrt{6^2 - 5} = \sqrt{36 - 5} = \sqrt{31} \).
   Так как \( C \) не является целым числом, формула в таком виде не приводит к упрощению.
5. Шаг 5: Вернемся к исходному выражению \(\sqrt{2\sqrt{5}+6-\sqrt{5}}\). Если предположить, что это \(\sqrt{a^2+b^2+2ab}\) или \(\sqrt{a^2+b^2-2ab}\).
   Попробуем представить \( 2\sqrt{5}+6-\sqrt{5} \) как \( 6 + \sqrt{5} \).
   Возможно, в задании подразумевается не \(2\sqrt{5}\) а \( \sqrt{20} \).
   \(\sqrt{\sqrt{20}+6-\sqrt{5}}\).
   Если выражение было \(\sqrt{a+b\sqrt{c}} \), то \( 6+\sqrt{5} \) не упрощается до числа.
6. Шаг 6: Рассмотрим другое возможное толкование. Если исходное выражение было \(\sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \).
   Мы имеем \( \sqrt{6+\sqrt{5}} \).
   Попробуем представить \( 6+\sqrt{5} \) как \( x+y+2\sqrt{xy} \).
   Тогда \( x+y=6 \) и \( xy=5/4 \) (так как \( 2\sqrt{xy} = \sqrt{4xy} = \sqrt{5} \)).
   Решая систему: \( x+y=6 \) и \( xy=5/4 \).
   \( t^2 - 6t + 5/4 = 0 \).
   \( 4t^2 - 24t + 5 = 0 \).
   \( t = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 80}}{8} = \frac{24 \pm \sqrt{496}}{8} = \frac{24 \pm 4\sqrt{31}}{8} = 3 \pm \frac{\sqrt{31}}{2} \).
   Это также не приводит к простому результату.
7. Шаг 7: Предположим, что в задании была опечатка, и выражение должно было упрощаться. Распространенный вид упрощения: \(\sqrt{a+2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) где \( x+y=a \) и \( xy=b \).
   Для \(\sqrt{6+\sqrt{5}}\), нам нужно \( \sqrt{6+2\sqrt{5/4}} \).
   В таком случае, \( a=6 \) и \( b=5/4 \).
   \( x+y=6 \), \( xy=5/4 \).
   Решения \( x=3+\frac{\sqrt{31}}{2} \) и \( y=3-\frac{\sqrt{31}}{2} \) (или наоборот) не являются целыми или простыми числами.
8. Шаг 8: Еще раз посмотрим на исходное выражение: \( \sqrt{2\sqrt{5}+6-\sqrt{5}} = \sqrt{6+\sqrt{5}} \).
   Если предположить, что в задании было \( \sqrt{20} \) вместо \( 2\sqrt{5} \), то есть \(\sqrt{\sqrt{20}+6-\sqrt{5}} = \sqrt{2\sqrt{5}+6-\sqrt{5}} = \sqrt{6+\sqrt{5}}\).
   Если выражение было \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}\)?
   \(\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1 \)
   \(\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1 \)
   \( (\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1) = 2 \).
   Это другой тип задачи.
9. Шаг 9: Вернемся к \( \sqrt{6+\sqrt{5}} \). Этот корень не упрощается в стандартных школьных методах до рационального числа или простого иррационального числа.
   Возможно, в задании опечатка, и должно быть \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}\), или \(\sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}\).
   \( \sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{7+2\sqrt{12}} \). \( x+y=7, xy=12 \). \( x=4, y=3 \). \( \sqrt{4}+\sqrt{3} = 2+\sqrt{3} \).
   \( \sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{7-2\sqrt{12}} \). \( \sqrt{4}-\sqrt{3} = 2-\sqrt{3} \).
   \( (2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \).
10. Шаг 10: Проверим, может ли \( 6+\sqrt{5} \) быть квадратом вида \( (a\sqrt{x} + b\sqrt{y})^2 \).
    \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab} \).
    У нас \( 6+\sqrt{5} \).
    Если \( 2\sqrt{ab} = \sqrt{5} \), то \( 4ab = 5 \), \( ab = 5/4 \).
    И \( a+b=6 \).
    Тогда \( t^2 - 6t + 5/4 = 0 \), \( 4t^2 - 24t + 5 = 0 \).
    \( t = \frac{24 \pm \sqrt{576-80}}{8} = \frac{24 \pm \sqrt{496}}{8} = \frac{24 \pm 4\sqrt{31}}{8} = 3 \pm \frac{\sqrt{31}}{2} \).
    Это не приводит к рациональным числам.
11. Шаг 11: Возможно, в задании была опечатка и под корнем должно быть \( 11+2\sqrt{30} \) или \( 9+2\sqrt{20} \) или \( 14+6\sqrt{5} \).
    \( \sqrt{14+6\sqrt{5}} = \sqrt{14+2\sqrt{9*5}} = \sqrt{14+2\sqrt{45}} \).
    \( x+y=14, xy=45 \). \( x=9, y=5 \).
    \( \sqrt{9}+\sqrt{5} = 3+\sqrt{5} \).
12. Шаг 12: Если же выражение \( \sqrt{2\sqrt{5}+6-\sqrt{5}} \) написано верно, то его нельзя упростить до более простого числового значения без использования приближенных значений \(\sqrt{5}\).
    \( \sqrt{5} \approx 2.236 \)
    \( 2\sqrt{5} \approx 4.472 \)
    \( 4.472 + 6 - 2.236 = 8.236 \)
    \( \sqrt{8.236} \approx 2.869 \).
13. Шаг 13: Предполагая, что задание составлено корректно и оно должно иметь простое решение, возможно, речь идет о выражении вида \(\sqrt{(a+b)^2}\) или \(\sqrt{(a-b)^2}\).
    \( \sqrt{2\sqrt{5}+6-\sqrt{5}} = \sqrt{6+\sqrt{5}} \).
    Для того, чтобы \( 6+\sqrt{5} \) было полным квадратом, например \( (\frac{m}{n})^2 \), это маловероятно.
    Если выражение должно быть \(\sqrt{ a+2\sqrt{b}} \), то \( 6+\sqrt{5} = 6+2\sqrt{5/4} \).
    Здесь \( a=6, b=5/4 \).
    Нужно найти \( x, y \) такие, что \( x+y=6 \) и \( xy=5/4 \).
    Мы уже решали это и получили \( 3 \pm \frac{\sqrt{31}}{2} \).
    
14. Шаг 14: Проверим, является ли \( 2\sqrt{5}+6-\sqrt{5} \) квадратом какого-либо простого выражения.
    \( (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab} \).
    \( (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab} \).
    Если \( 2\sqrt{5}+6-\sqrt{5} = 6+\sqrt{5} \) должно быть квадратом, то \( 6+\sqrt{5} = (x+y)^2 \).
    Нам нужно \( 6+\sqrt{5} = x^2+y^2+2xy \).
    Если \( x=\sqrt{A}, y=\sqrt{B} \), то \( 6+\sqrt{5} = A+B+2\sqrt{AB} \).
    Тогда \( A+B=6 \) и \( 2\sqrt{AB}=\sqrt{5} \), \( 4AB=5 \), \( AB=5/4 \).
    Решения \( A=3 \pm \frac{\sqrt{31}}{2} \), \( B=3 \mp \frac{\sqrt{31}}{2} \).
    
    Заключение: Данное выражение \(\sqrt{6+\sqrt{5}}\), вероятно, не упрощается до простого числового значения в рамках стандартных школьных задач, либо в условии есть опечатка.
    Если предположить, что в задании было \( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} \), то ответ 2.
    Если предположить, что в задании было \( \sqrt{14+6\sqrt{5}} \), то ответ \( 3+\sqrt{5} \).
    
    Если исходить строго из написанного, то ответ является \( \sqrt{6+\sqrt{5}} \), который не упрощается дальше без приближенных вычислений.

Ответ: \( \sqrt{6+\sqrt{5}} \)